청담고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

청담고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

제공 자료의 학교 위치는 서울 서초구입니다. 이번 시험에서 확인되는 내용은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선의 기울기와 평균값 정리입니다. 마지막 문항에는 삼각함수의 주기와 그래프의 교점 개수를 연결하는 내용도 포함되어 있습니다.

앞부분에서는 그래프에서 극한을 읽거나 연속인 구간을 판단하는 기본 개념을 확인합니다. 중간에는 주기함수와 사잇값 정리, 미분계수의 정의를 활용한 극한, 함수의 곱의 연속 조건으로 확장됩니다. 공식을 외우는 데서 그치지 않고 주어진 조건을 익숙한 개념으로 바꾸어야 합니다.

객관식 후반은 수렴 조건에서 인수 구조를 얻거나, 구간별 함수의 한 점 근처 모습을 해석하는 문제가 이어집니다. 서술·단답형은 계산 결과뿐 아니라 정의에 맞는 논리의 연결을 준비하는 것이 좋습니다. 특히 연속이라는 사실과 미분가능하다는 사실을 별도로 확인하는 습관이 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 끝부분의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·3·4·5·6·17·21번입니다. 그래프의 극한, 정의역, 변화율, 접선, 평균값 정리와 기본 극한 계산이 포함됩니다. 17·21번이 서술·단답형에 있으므로 객관식 후반에 막히더라도 뒤쪽의 접근 가능한 문항을 확인해야 합니다.

보통 문항에서는 조건을 정리하는 첫 단계가 중요합니다. 8번은 사잇값 정리가 보장하는 실근과 최소 개수를 구분하고, 10번은 변화량에 맞게 극한식을 나누어 읽어야 합니다. 12번은 개별 함수가 아닌 곱의 연속성을 판단하는 문제이므로 단원 이름만 보고 기본형으로 생각하지 마세요.

어려움으로 분류된 14·15·16·22번은 계산 전의 구조 파악이 풀이를 좌우합니다. 인수의 중복, 한 점에서의 함숫값, 좌우 미분계수, 열린구간의 끝점 제외가 각각 중요합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정한 결과는 아닙니다.

출제 단원 — 미분의 정의와 극한·연속의 연결

미분계수와도함수는 4·9·10·11·15·16·18·20·21번입니다. 평균변화율의 의미부터 항등식, 나머지, 구간별 미분가능성까지 표현 방식이 다양합니다. 미분 공식을 반복하기보다 극한식을 미분계수로 바꾸는 방법과 정의를 직접 쓰는 방법을 함께 익히세요.

함수의극한에서는 그래프 읽기, 도형의 넓이 표현, 부등식의 대소 관계, 다항식의 인수 조건이 등장합니다. 함수의연속에서는 접합점의 좌우 극한, 정의역, 사잇값 정리, 곱의 연속성을 구분해야 합니다. 두 단원 모두 식을 바로 계산하기 전에 어느 점과 어느 구간을 확인할지 정하는 것이 우선입니다.

도함수의활용에 속한 5·6번은 접선의 기울기와 평균값 정리의 기본 의미를 확인합니다. 22번은 자료상 삼각함수그래프로 분류되어 있으므로 출제 내용을 미분에만 한정해 준비해서는 곤란합니다. 삼각함수 그래프를 그린 뒤 높이에 따른 교점 개수를 세는 연습도 포함하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 줄고 미분의 비중은 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항은 24문항에서 22문항으로 줄었지만 서술·단답형은 6문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항으로 같고 쉬움도 7문항으로 같습니다. 따라서 문항 수 감소만으로 시험 부담이 크게 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 함수의극한이 9문항으로 가장 많았고 올해는 미분계수와도함수가 9문항으로 가장 많습니다. 겹치는 단원을 보면 함수의극한은 9문항에서 5문항, 미분계수와도함수는 6문항에서 9문항, 도함수의활용은 4문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 함수의연속은 5문항으로 같습니다.

작년 어려움 문항은 16·18·19·20번으로 객관식과 서술·단답형 시작 부분에 걸쳐 있었고, 올해는 14·15·16번과 22번에 있습니다. 올해 구성을 기준으로는 객관식 후반에 시간을 모두 쓰지 않도록 연습해야 합니다. 극한의 기본 계산을 유지하면서 미분의 정의와 좌우 미분계수 해석을 강화하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 해석의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 식을 인수 구조, 한쪽 미분계수, 교점 개수라는 다른 표현으로 바꿔야 합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇이 변하고 어느 경계에서 경우가 갈리는지 짧게 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~13번에서 접근이 보이는 문제를 처리하고, 조건 정리가 길어지는 문항에 표시하세요. 14~16번을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하려 하면 기본 계산 문항을 확인할 시간이 줄어들 수 있습니다. 17·21번처럼 출발 방법이 분명한 문제를 먼저 점검한 뒤 남겨 둔 문제로 돌아오는 연습을 권합니다.

서술·단답형에서는 문제에서 요구한 방법을 확인하세요. 21번은 미분 공식만 적용하는 대신 도함수의 정의에 따른 차분과 극한 과정을 써야 합니다. 18번은 몫과 나머지의 항등식을 먼저 세우고, 20번은 절댓값을 포함한 식을 좌우로 나누어 검토하는 과정을 남기세요. 연습할 때 조건 정리와 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하면 지연되는 단계를 찾기 쉽습니다.

마지막에는 경계와 논리의 방향을 확인하세요. 8번은 실근이 적어도 존재한다는 사실과 최소 개수를 달성하는 경우를 구분하고, 12번은 곱이 연속일 조건을 개별 함수의 연속 조건으로 바꾸지 마세요. 15번은 주변의 식과 그 점의 함숫값, 22번은 열린구간에서 제외되는 끝점을 다시 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌극한·우극한과 함수의 정의역을 먼저 복습하세요. 함수가 정의된 곳과 극한을 읽는 방향을 따로 표시하세요(1·3번 대비).
2. 기본 극한 계산을 인수분해·최고차항 비교·유리화로 나누어 연습하세요. 부등식을 나눌 때는 부호에 따른 방향 변화도 확인하세요(7·13·17번 대비).
3. 연속 조건은 좌우 극한과 함숫값을 한 줄씩 대응시키세요. 사잇값 정리의 존재 보장과 최소 개수의 확인을 구분하세요(2·8·12·19번 대비).
4. 미분계수의 정의를 기준으로 변화량을 맞추는 연습을 하세요. 함수의 값과 미분계수를 분리해 기록하고 항등식에도 적용하세요(4·9·10·11·18·21번 대비).
5. 미분가능성은 한 점 근처의 식과 좌우 기울기를 확인하는 순서로 정리하세요. 연속성을 먼저 검사하되 충분조건인지도 따져 보세요(15·16·20번 대비).
6. 기본 접선과 평균값 정리를 복습한 뒤 복합 조건으로 확장하세요. 수렴에서 얻는 인수 조건과 삼각함수의 교점 개수는 별도 유형으로 연습하세요(5·6·14·22번 대비).