중산고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

중산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험의 자료에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 속도와 가속도, 함수의 최대·최소에서 적분으로 정의된 함수의 성질까지 다룹니다.

기본 계산과 조건 해석의 역할이 뚜렷합니다. 초반에는 미분과 적분의 기본 성질을 정확히 적용해야 하고, 후반에는 극값이나 역함수의 존재 조건으로 함수의 형태를 좁혀야 합니다. 정적분 단원으로 분류된 문제에서도 도함수의 부호와 그래프 해석이 풀이의 핵심이 됩니다.

서술·단답형이 마지막에만 모여 있지 않은 구성입니다. 15번의 최대·최소와 18번의 대칭 구간 적분은 후반부에서 먼저 접근할 만합니다. 어려운 객관식에 머무르다가 풀이 구조가 비교적 분명한 문항을 놓치지 않도록 전체 시험지를 확인하세요.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 결합

쉬움은 1~3번입니다. 위치를 미분해 가속도를 구하거나 적분구간의 방향을 정리하는 기본형이 나옵니다. 다만 3번에서는 정지 시점과 그때까지의 이동을 연결해야 하므로, 공식 대입 전에 구하려는 물리량을 구별하는 습관이 필요합니다.

보통은 4~10번과 15·18번에 분포합니다. 최대·최소, 접선, 역함수의 대칭, 정적분 등식의 미분 등 출발점이 서로 다릅니다. 계산이 짧아 보이는 문제에서도 접점의 좌표 조건이나 적분상수를 생략하면 풀이가 어긋날 수 있습니다.

11~14번은 어려움이 연속되며, 이후에도 16·17·19·20번이 이어집니다. 여기서는 극값과 근의 위치, 상수로 둔 적분값의 일관성, 해의 중복을 함께 확인해야 합니다. 이 난이도 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분 중심

도함수의활용은 가장 많이 출제된 단원입니다. 4·15번의 최대·최소, 6·17번의 실근 개수, 19번의 접선처럼 개념을 다른 표현으로 적용합니다. 증가·감소표를 작성하는 데서 멈추지 말고, 그 표가 부등식이나 교점 개수와 어떻게 연결되는지 설명할 수 있어야 합니다.

정적분은 단순 계산에서 적분함수의 추론까지 폭이 넓습니다. 10·16번은 고정된 구간의 적분을 상수로 두는 구조이고, 14·20번은 적분함수의 도함수와 원래 함수의 관계가 중요합니다. 적분식이 보인다고 바로 원시함수를 전개하기보다 미분해서 얻을 정보를 먼저 살펴보세요.

부정적분의 5·9번은 원래 함수를 복원하면서 조건을 적용하는 연습에 적합합니다. 정적분의활용 7·8번은 대칭과 부호 있는 넓이를 읽어야 합니다. 문항 수가 적은 단원도 그래프 해석의 기초를 확인하므로 학습에서 제외하지 않는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 정적분 비중 변화

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 13문항에서 올해 8문항으로 줄고 보통은 4문항에서 9문항으로 늘었습니다. 다만 이것만으로 실제 응시자의 성적이나 체감 난도 변화를 단정할 수는 없습니다.

도함수의활용은 두 해 모두 9문항으로 가장 많습니다. 정적분은 5문항에서 7문항으로 늘고 정적분의활용은 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 올해는 정적분 등식을 미분하거나 적분함수의 성질을 추론하는 유형을 집중적으로 복습할 필요가 있습니다.

작년에는 8~20번이 어려움으로 분류되었고 올해는 11~14번과 16·17·19·20번에 배치되었습니다. 서술·단답형도 작년 15~17번에서 올해 15·16·18·19번으로 달라졌습니다. 다음 시험 대비에서는 후반부를 한 덩어리로 미루기보다, 조건을 읽고 접근 가능한 문항을 골라 푸는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 문제가 아니라 조건을 결합하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 계산하기 전에 다른 표현으로 바꾸는 단계가 필요합니다. 풀이 첫 줄에 상수화, 교점 해석, 적분함수 정의 중 어떤 접근을 택하는지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 접근을 빠르게 판단하되, 역함수 그래프나 적분 등식에서 생각이 길어지면 표시하고 이동하세요. 11~14번에서 시간이 많이 들더라도 15·18번까지 함께 미루지 않는 것이 좋습니다. 남겨 둔 문항은 풀이의 출발점이 보이는 순서로 다시 확인하세요.

서술·단답형에서는 답을 만드는 계산에 앞서 적용 조건을 남기세요. 15번은 판매량이 허용되는 정의역과 최대를 보이는 근거, 16번은 적분값의 정의와 단조성, 18번은 양수 조건이 중요합니다. 19번은 집합의 서로 다른 원소를 세는 이유를 그림이나 짧은 설명으로 정리하면 검토하기 편합니다.

마지막 검토에서는 부호와 중복을 우선 확인하세요. 2·12번의 적분 방향, 8번의 초기 위치와 부호 있는 넓이, 9번의 접점 조건을 살펴보세요. 6·17·19·20번은 근을 세는 방식이 서로 다르므로 접하는 근이나 겹치는 근을 중복 계산하지 않았는지 되짚어야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 위치·속도·가속도의 관계부터 정리하세요. 속도 그래프의 넓이를 위치 변화로 읽고, 원점까지의 거리와 이동거리를 구별해 보세요(1·3·8번 대비).
2. 도함수의 부호표로 최대·최소와 실근 개수를 설명하세요. 전체 정의역과 경계 조건을 적은 뒤 수평선을 움직여 교점 수를 확인하세요(4·6·15번 대비).
3. 부정적분과 접선 조건을 묶어 연습하세요. 적분상수를 남기고 곡선 위의 점 조건, 기울기 조건, 직선 위의 점 조건을 차례로 적용하세요(5·9번 대비).
4. 정적분의 방향과 대칭성을 복습하세요. 역함수의 대칭으로 영역을 옮기는 연습과 홀수·짝수 차수 항을 나누는 연습을 함께 하세요(2·7·12·18번 대비).
5. 고정 구간의 적분을 상수로 두고 변수 구간의 적분은 미분하는 유형을 익히세요. 얻은 식을 원래 적분 조건에 대입하는 과정까지 마무리하세요(10·16번 대비).
6. 역함수의 존재와 중근 구조를 그래프로 설명하세요. 도함수의 부호가 바뀌는지 확인하고, 적분함수와 그 도함수의 극점·근을 구별하세요(11·13·14번 대비).
7. 서로 다른 근과 집합의 원소 수를 세는 종합 유형을 연습하세요. 공통근, 접하는 근, 극한의 존재 조건을 먼저 정리한 뒤 계산에 들어가세요(17·19·20번 대비).