하남고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

하남고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

하남고등학교는 경기 하남시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한과 연속의 정의가 미분 및 접선의 조건과 연결되는 구성을 보입니다.

초반에는 인수분해로 극한을 구하거나 평균변화율과 접선의 기울기를 계산하는 기본형이 나옵니다. 이후에는 부등식으로 도함수의 정보를 얻고, 교점 개수를 함수로 해석하거나 구간별 함수를 다시 평균변화율로 나타내야 합니다. 공식 적용 전에 조건의 의미를 정리하는 시간이 필요합니다.

서술·단답형에서는 접선과 도형, 구간별 함수의 미분가능성, 부호 변화와 연속 조건을 다룹니다. 계산 결과만 적기보다 어떤 경계에서 무슨 조건을 적용했는지 남겨 두세요. 미분가능성을 확인할 때 연속성 검사를 생략하지 않는 습관이 중요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·4·5번입니다. 분수식의 약분, 평균변화율, 극한의 대소 관계, 미분계수의 기하적 의미를 정확하게 적용하면 접근할 수 있습니다. 이 구간에서 계산을 안정적으로 마쳐야 조건 해석이 긴 문제에 시간을 남길 수 있습니다.

보통 문항도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 6번은 극한에서 함수값과 미분계수를 읽어 곱의 미분법으로 연결하고, 10번은 입력의 변화 방향에 따라 좌우극한을 구분합니다. 22·23번까지 살펴보며 풀 수 있는 문항을 먼저 확보하세요.

어려움 문항은 후반에만 있는 것이 아닙니다. 7·8번의 미분계수 해석부터 11번의 교점 개수, 14~21번의 여러 조건 결합까지 이어집니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 일치한다고 단정할 수는 없지만, 풀이를 시작할 표현을 찾는 연습이 필요한 구성입니다.

출제 단원 — 미분계수와 연속 조건의 연결

가장 많은 미분계수와도함수는 평균변화율의 정의부터 구간별 함수의 미분가능성까지 폭이 넓습니다. 7번은 증가량의 배율을 조정해 미분계수의 정의를 만들고, 8번은 절댓값 부등식을 극한으로 옮깁니다. 도함수 공식을 외우는 것과 함께 정의가 변형된 형태를 알아보는 훈련이 필요합니다.

함수의극한은 기본 계산뿐 아니라 그래프, 최대·최소, 접선과 거리, 원과 직선의 교점 개수까지 연결됩니다. 특히 12번처럼 극한으로 함수를 먼저 정한 뒤 구간에서 값을 비교하는 문제는 극한 계산이 끝나도 요구한 판단이 남아 있음을 확인해야 합니다.

함수의연속에서는 분모 조건, 곱함수의 연속, 사잇값의 정리, 부호 변화가 다뤄집니다. 도함수의활용은 18·22번으로 문항 수는 적지만 접점과 기울기 조건을 동시에 다룹니다. 단원 비중만 보고 접선 문제의 준비를 뒤로 미루지 마세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 문항 구성

같은 2025학년도 2학년 2학기 중간 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 견주면, 하남고는 총 23문항으로 이웃 학교 평균 20.8문항보다 많습니다. 서술·단답형도 4문항으로 평균 1.3문항보다 많아, 전체 문제를 살피는 속도와 풀이 근거를 정리하는 연습이 함께 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 48%로 이웃 학교 평균 56%보다 낮으며, 11개교 중 8위입니다. 이 비율만으로 시험 전체의 체감 난도를 판단하기는 어렵습니다. 하남고는 미분계수와도함수가 가장 많고, 도함수의활용이나 함수의극한이 가장 많은 학교도 있어 단원 구성에 차이가 있습니다.

하남고 대비에서는 다른 학교의 어려운 문제를 많이 푸는 데 앞서 미분계수의 정의와 연속·미분가능 조건을 연결하는 유형을 충분히 익히세요. 평균변화율의 구간 분류와 접선 문제까지 이어 연습하면 이 시험에서 요구하는 풀이의 출발점을 잡는 데 도움이 됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표의 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 결과를 다음 조건의 언어로 바꾸어야 합니다. 풀이 전에 연속 조건, 접선 조건, 부호 조건을 짧게 분리해 적으면 계산 도중 확인할 대상을 놓치지 않을 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4·5번처럼 기본 구조가 보이는 문제를 안정적으로 처리하세요. 7·8번에서 접근이 떠오르지 않으면 표시하고 뒤의 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 14~21번에 시간을 모두 쓴 뒤 22·23번을 처음 보는 상황을 피하도록 전체를 훑는 연습을 하세요.

서술·단답형은 계산을 시작하기 전에 근거를 남겨 두세요. 18번은 접점을 정하는 조건과 넓이를 구하는 기준을, 19번은 경계의 좌우 기울기를 먼저 적는 방식이 좋습니다. 20번은 부호 변화 표를 만들면 그래프의 교점 조건과 대조하기 쉬워집니다. 연습에서는 조건 해석에 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록하세요.

마지막에는 답을 다시 계산하기보다 놓친 조건을 점검하세요. 10번은 입력의 접근 방향, 12번은 근호의 부호, 17번은 끝점 포함 여부가 중요합니다. 21번의 후보는 열린구간 조건에, 22번의 후보는 함수값과 도함수 값의 일치 조건에 모두 대조해야 풀이가 완성됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해와 극한의 대소 관계를 복습하세요. 약분이 가능한 이유와 부등식을 나눌 때의 부호를 말로 설명해 보세요(1·4번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 정의를 비교하세요. 증가량을 바꾸는 치환과 분모의 배율 보정을 연습하세요(2·6·7·8번 대비).
3. 연속성과 미분가능성을 순서대로 검사하세요. 좌우극한, 함수값, 좌우미분계수를 구분해 기록하세요(9·15·19번 대비).
4. 입력이 변형된 극한과 구간별 함수를 연습하세요. 접근 방향과 끝점 포함 여부를 그래프 옆에 표시하세요(10·12·16·17번 대비).
5. 연속 조건을 인수 조건으로 바꾸고 사잇값의 정리를 적용하세요. 실근 존재의 근거와 후보를 제외하는 조건을 따로 정리하세요(3·11·14·20·21·23번 대비).
6. 접선은 접점과 기울기 조건을 함께 연습하세요. 직선을 구한 뒤 거리나 도형의 길이로 연결하는 과정까지 완성하세요(5·13·18·22번 대비).