천안고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

천안고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

천안고등학교는 충남 천안시에 있습니다. 이 시험은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수를 다룹니다. 무리식의 극한과 평균변화율 같은 기본 유형에서 시작해 주기함수의 연결 조건, 도형으로 정의된 함수의 극한까지 이어집니다.

초반에는 대입 가능 여부와 그래프의 기본 정보를 정확히 읽는 것이 중요합니다. 중반 이후에는 익숙한 식을 정의에 맞게 바꾸는 능력이 필요합니다. 특히 미분계수처럼 보이는 극한이라고 해서 모두 미분가능성을 보장하는 것은 아니라는 점을 구별해야 합니다.

서술·단답형은 마지막 번호에 한꺼번에 모이지 않고 15·16·18번에 배치되어 있습니다. 끝부분에도 17·19번처럼 자동 분류 기준 보통 문항이 있으므로, 앞의 어려운 문제에서 멈추지 말고 전체를 확인하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반의 조건 해석이 관건

쉬움으로 분류된 1·3·5번은 유리화, 평균변화율, 그래프에서의 극한 읽기입니다. 기본 유형이라도 무리식의 약분 조건이나 열린 점과 닫힌 점의 차이를 놓치면 실수가 생깁니다. 속도를 높이기 전에 무엇을 읽거나 계산하는지 확인하세요.

보통 구간은 단순 연산만으로 묶기 어렵습니다. 6·8번은 미분계수의 정의를 식 속에서 찾아야 하고, 7·17번은 연속 조건을 여러 지점에 적용합니다. 13번은 안쪽 식이 어느 방향에서 접근하는지 판단해야 하므로, 자동 분류 기준 보통이어도 개념이 흐리면 시간이 걸립니다.

어려움은 11번부터 나타나지만 이후 모든 문항이 어려운 것은 아닙니다. 11·12·14번의 미분 관련 조건 해석과 16·18번의 도형 해석을 구분해 준비하세요. 한 유형에만 익숙해지면 다른 유형에서 풀이의 출발점을 잡기 어려울 수 있습니다.

출제 단원 — 극한의 비중과 미분 조건의 깊이

함수의극한이 8문항으로 가장 많습니다. 유리화와 인수분해뿐 아니라 합성함수의 접근 방향, 음의 무한대에서의 부호, 원의 위치 관계를 다룹니다. 같은 극한 단원 안에서도 계산을 시작하기 전 해야 할 판단이 다르다는 점이 특징입니다.

미분계수와도함수는 7문항이며, 어려움 문항인 11·12·14번이 여기에 속합니다. 평균변화율과 미분 공식의 기본기를 바탕으로, 변형된 극한의 의미와 미분가능성의 조건을 설명할 수 있어야 합니다. 계산 공식만 외워서는 이 구간에 대응하기 어렵습니다.

함수의연속은 4문항으로 모두 자동 분류 기준 보통입니다. 그러나 곱의 연속, 사잇값의 정리, 주기적 연결처럼 쓰임이 다양합니다. 특히 경계점에서 함숫값과 극한값을 함께 확인하는 습관은 미분 단원의 어려운 문항을 풀 때도 바탕이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 공통으로 계산식의 모양보다 그 식이 의미하는 조건을 먼저 읽어야 합니다. 11번은 접근 방향, 14번은 연결점의 함수와 기울기, 18번은 교점의 선택 기준이 출발점입니다. 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 내용에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 전체 문항을 훑고 바로 출발할 수 있는 계산형부터 해결하세요. 1·3·5번에서 기본 개념을 확인한 뒤 보통 문항을 진행하되, 11·12·14번에서 조건 정리가 막히면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 번호가 뒤라는 이유로 17·19번까지 남겨 두지 마세요.

15·16·18번을 풀 시간을 별도로 남기세요. 15번은 부호 확인이 중심이지만 16·18번은 도형을 식이나 구간별 함수로 옮기는 준비가 필요합니다. 완성된 계산만 쓰기보다 어떤 기준으로 경우를 나누거나 교점을 선택했는지 적어 두면, 되돌아왔을 때도 풀이를 이어가기 쉽습니다.

검산에서는 13번의 좌우 접근, 15번의 근호와 부호, 16번의 접하는 경계, 18번의 거리 비교를 우선 확인하세요. 12·14·17번은 이어지는 지점에서 함숫값을 빠뜨리지 않았는지도 점검해야 합니다. 식을 전부 다시 계산하는 것보다 처음에 선택한 조건이 맞는지 확인하는 검산이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 변형부터 정리하세요. 대입 후 유리화나 인수분해가 필요한 이유를 말로 설명하고, 음의 무한대에서는 근호 밖으로 나오는 부호까지 확인하세요(1·4·10·15번 대비).
2. 그래프를 볼 때 함숫값·좌극한·우극한을 나란히 적으세요. 합성함수는 안쪽 식의 접근 방향을 먼저 표시하고 바깥 그래프를 읽는 순서로 연습하세요(5·13번 대비).
3. 연속 조건을 지점별로 세우세요. 곱이 연속인 경우와 주기적 연결을 구분하고, 사잇값의 정리로 보장되는 내용과 차수로 제한되는 내용을 따로 쓰세요(2·7·9·17번 대비).
4. 평균변화율에서 미분계수의 정의로 넘어가세요. 함수 관계식에 특수한 값을 넣어 기준 함숫값을 구한 뒤 차분몫을 만드는 연습이 필요합니다(3·6·8번 대비).
5. 미분가능성의 충분조건을 반례와 함께 점검하세요. 한쪽 접근과 양쪽 접근을 구별하고, 경계점에서는 연속 조건을 확인한 다음 미분 조건을 적용하세요(11·12·14번 대비).
6. 도형을 구간별 함수로 바꾸는 연습을 하세요. 원의 위치 관계와 교점 선택을 먼저 정리한 뒤 극한을 계산하고, 다항함수 항등식은 차수를 정한 뒤 계수를 비교하세요(16·18·19번 대비).