광남고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

광남고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

광남고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증감과 극값부터 구간별 적분, 운동, 역함수 그래프의 넓이까지 미적분 개념을 여러 형태로 다룹니다.

적분해서 함수를 구하거나 도함수의 근을 찾는 것만으로 풀이가 끝나지 않는 문항이 많습니다. 얻은 함수가 어느 구간에서 증가하는지, 절댓값으로 그래프가 어떻게 바뀌는지, 주어진 조건이 모든 입력에서 성립하는지를 추가로 판단해야 합니다. 식을 구하는 단계와 조건을 해석하는 단계를 구별해 연습하세요.

서술·단답형도 성격이 다릅니다. 19번은 구간별 속도를 높이로 복원하고 최고 지점을 설명하는 흐름이며, 20번은 도함수 그래프에서 출발해 증감표와 절댓값 그래프, 실근 개수로 이어집니다. 객관식 계산 훈련과 함께 그래프를 그리고 판단 근거를 문장으로 적는 준비가 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2번은 각각 미분과 부정적분의 관계, 닮음으로 세운 거리식의 미분을 다룹니다. 보통인 3~5번도 넓이의 합을 정리하거나 정의역 안에서 최댓값을 판단하고 적분상수를 결정해야 합니다. 기본 문항이라고 해서 조건 표시를 생략하지 마세요.

객관식은 6번부터 자동 분류 기준 어려움이 이어집니다. 다만 요구하는 사고는 서로 다릅니다. 7번은 정적분 등식의 미분, 9번은 구간별 함수의 연결, 14번은 대칭성과 정수 조건이 핵심입니다. 한 문항의 그래프 해석이 막혔다면 다른 구조의 문항으로 이동하는 운영이 가능합니다.

19번은 보통, 20번은 어려움으로 분류되어 있습니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하면 19번의 풀이를 정리할 시간이 부족할 수 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감이나 문항별 난도 순위를 확정하는 자료로 해석하지는 않습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 연결

도함수의활용은 최대·최소와 방정식의 실근 개수가 중심입니다. 6번은 함수의 차의 최솟값으로 부등식을 판단하고, 10번은 극점과 구간 끝점을 비교합니다. 11·20번에서는 절댓값 그래프를 이용해 교점을 세므로, 도함수의 부호표를 실제 그래프의 높낮이로 옮기는 연습이 중요합니다.

적분 관련 단원에서는 누적량의 의미를 구별해야 합니다. 8번은 속도를 적분한 뒤 두 위치의 차를 거리로 바꾸며, 19번은 초기 높이와 구간 경계의 연속성을 반영합니다. 18번은 역함수의 식을 직접 구하기보다 그래프의 대칭성을 활용하는 방식이 유효합니다.

정적분의 7·16번은 적분 구간에 변수가 들어갈 때 미분으로 구조를 단순화하는 유형입니다. 부정적분의 9번은 구간마다 생기는 적분상수를 연결 조건으로 결정합니다. 단원 이름은 다르지만 미분과 적분을 왕복하고 원래 조건으로 돌아가 검토하는 학습이 공통으로 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건을 처리하는 단계와 경계 검토의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 결과를 그래프와 정의역에 되돌려 확인해야 합니다. 풀이 중간에 부호표나 간단한 스케치를 남기면 누락한 조건을 발견하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 계산과 조건을 정확히 처리하고, 6번 이후에는 접근 방법이 보이는 문항부터 진행하세요. 식을 세우지 못한 채 전개만 반복한다면 표시하고 넘어가는 편이 좋습니다. 19번은 객관식 후반과 별도로 일찍 확인해 서술할 시간을 확보하세요.

그래프 문항에서는 계산 전에 정의역과 경계 포함 여부를 적으세요. 10번은 구간 끝점도 최대·최소의 후보이고, 17번은 매개변수와 도함수의 근의 위치가 절댓값 해제 기준입니다. 20번은 열린구간이므로 끝점의 함수값을 실제 교점으로 세지 않도록 표시해야 합니다.

적분 문항에서는 무엇을 누적하는지 먼저 확인하세요. 8번의 두 점 사이 거리는 위치 차의 절댓값이고, 12번의 이동거리는 방향 전환에 따라 나누어야 합니다. 9·19번의 구간별 원시함수는 경계에서 연결되어야 하며, 16번은 움직이는 적분 구간의 양 끝을 모두 미분에 반영해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 부정적분의 관계를 복습하고 함수값 또는 정적분 조건으로 적분상수를 정하는 훈련을 하세요. 도함수 그래프와 원래 함수를 구별하세요(1·5·7번 대비).
2. 도함수의 인수분해에서 부호표와 개형까지 이어서 작성하세요. 극점과 구간 끝점의 값을 같은 표에서 비교하는 습관을 들이세요(4·6·10번 대비).
3. 구간별 함수를 적분한 뒤 경계의 연속성과 미분가능 조건을 각각 확인하세요. 운동에서는 초기 위치를 함께 기록하세요(9·19번 대비).
4. 운동 문제는 위치, 속도, 가속도, 이동거리를 구별해 정리하세요. 두 점 사이 거리에는 위치 차의 부호를 먼저 판단하세요(2·8·12번 대비).
5. 절댓값 그래프와 수평선의 교점을 높이별로 세고, 중근 및 경우 분류를 연습하세요. 접하는 경우와 열린구간 끝점도 따로 확인하세요(11·13·17·20번 대비).
6. 전 구간 부등식과 움직이는 정적분은 부호 조건을 먼저 적고, 역함수 넓이는 대칭축과 경계의 교점을 먼저 그리세요. 계산 전에 구조를 정하는 훈련을 하세요(14·15·16·18번 대비).