매탄고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

매탄고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

매탄고등학교는 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 평면좌표, 여러가지부등식, 직선의방정식입니다. 수직선과 좌표평면 위의 거리에서 출발해 도형의 성질, 직선의 위치 관계, 제한된 범위의 부등식까지 다룹니다.

초반에는 점과 기울기로 직선을 세우거나 거리를 구하는 기본형이 나옵니다. 이후에는 이등변삼각형의 가능한 경우, 넓이를 나누는 직선, 거리비로 정해지는 점의 자취처럼 조건을 다른 수학적 표현으로 바꾸는 문제가 이어집니다. 공식 암기와 함께 공식을 적용할 대상을 고르는 연습이 필요합니다.

서술·단답형인 17번은 마름모의 성질을 좌표 관계로 옮기는 문항입니다. 후반 객관식의 복합 조건과 서술형의 근거 제시를 따로 준비해야 합니다. 계산으로 후보를 얻는 단계와 그 후보가 원래 조건을 만족하는지 확인하는 단계를 구분하면 풀이를 더 명확하게 정리할 수 있습니다.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1~7번과 9~11번입니다. 점과 직선 사이의 거리, 연립부등식의 공통부분, 중점과 무게중심 등 기본 개념을 정확히 적용하는 구간입니다. 다만 6번의 거리 조건은 가능한 위치를 모두 찾아야 하고, 11번은 점이 놓일 방향을 나누어야 하므로 쉬움이라는 분류만 보고 검토를 생략해서는 안 됩니다.

보통은 8·12·17번입니다. 직사각형의 길이 조건을 이차부등식으로 바꾸거나, 같은 길이의 변을 나누어 검토하거나, 마름모의 성질을 연립하는 과정이 필요합니다. 각 단계의 계산보다 조건을 식으로 옮기는 순서가 풀이의 안정성을 좌우합니다.

어려움은 13~16번과 18번으로 후반에 집중되어 있습니다. 직선의 고정점, 이차함수의 축, 절댓값 그래프, 거리 조건과 자취 등 서로 다른 개념을 연결해야 합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과는 차이가 있을 수 있습니다. 후반에서도 문제마다 필요한 접근이 다르므로 한 문항에 막혔다고 남은 문제를 같은 방식으로 판단하지 마세요.

출제 단원 — 평면좌표의 비중과 부등식의 그래프 해석

평면좌표는 2·6·9·11·12·16·17·18번입니다. 거리와 중점의 기본 계산에서 이등변삼각형, 마름모, 움직이는 점의 자취로 확장됩니다. 같은 거리 공식도 미지수의 값을 구할 때와 점이 놓일 수 있는 변을 제한할 때 역할이 달라집니다. 좌표를 계산하기 전에 그림에서 가능한 위치를 표시하는 습관을 들이세요.

여러가지부등식은 5·7·8·10·14·15번입니다. 연립부등식의 해를 구하는 기본형뿐 아니라 길이의 조건을 부등식으로 모델링하고, 그래프의 최솟값으로 항상 성립하거나 해가 존재하는 조건을 판단하는 유형까지 포함됩니다. 특히 항상 성립한다는 조건과 해가 존재한다는 조건을 구별해서 읽어야 합니다.

직선의방정식은 1·3·4·13번입니다. 기본 공식과 수직 관계를 다룬 뒤, 13번에서 매개변수가 포함된 직선과 넓이 조건을 결합합니다. 직선의 식을 정리하는 대수 계산에 더해 그 직선이 도형 안에서 어떤 역할을 하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 조건을 계산하기 쉬운 대상으로 바꾼 뒤 허용 범위를 다시 확인한다는 것입니다. 식을 세우기 전에 고정점, 축의 위치, 가능한 자취를 간단히 그려 두면 경우를 누락하는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 직선과 거리의 기본 공식, 부등식의 공통부분이 바로 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 8번이나 12번에서 경우 정리가 길어지면 표시하고 다음 문제의 접근 가능성을 확인하는 것이 좋습니다. 13번 이후의 어려움 문항을 모두 끝내야 17번을 풀 수 있는 것은 아니므로, 서술형에 필요한 풀이 작성 시간을 미리 남겨 두세요.

17번은 대각선의 중점이 같다는 성질로 좌표 관계를 세우고, 이웃한 변의 길이가 같다는 조건을 연결하는 흐름으로 정리하세요. 마지막에는 상수의 부호 조건으로 후보를 고른 이유와 도형 조건을 만족하는 근거가 드러나야 합니다. 연습할 때 계산식만 쓰는 풀이와 성질의 이름을 덧붙인 풀이를 비교해 보면 설명이 빠지는 지점을 찾기 쉽습니다.

검토할 때는 숫자를 다시 계산하기보다 조건을 먼저 대조하세요. 7·10번은 홀수나 정수라는 제한, 8번은 길이의 양수 조건, 12번은 양의 정수와 삼각형의 성립 여부가 중요합니다. 14번은 열린 구간의 끝점, 15번은 해의 존재와 그래프의 최솟값, 18번은 자취를 제한하는 좌표 조건이 반영되었는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 직선의 기본식을 복습하세요. 점과 기울기, 점과 직선 사이의 거리, 수직 관계를 식의 모양이 달라도 읽을 수 있게 연습하세요(1·3·4번 대비).
2. 거리와 분점은 그림을 먼저 그리세요. 수직선에서 방향을 표시하고 거리의 제곱으로 가능한 좌표를 구한 뒤, 외분하는 점의 위치를 나누어 확인하세요(2·6·9·11번 대비).
3. 연립부등식은 수직선의 공통부분과 정수 조건을 함께 표시하세요. 문장제에서는 변수의 범위와 길이의 양수 조건부터 적어 보세요(5·7·8·10번 대비).
4. 도형의 성질을 좌표식으로 바꾸는 연습을 하세요. 같은 변의 조합을 모두 비교하고, 대각선의 중점 관계와 변의 길이 관계를 순서대로 연결하세요(12·17번 대비).
5. 그래프의 최솟값과 존재 조건을 구별하세요. 축의 위치로 경우를 나누는 이차함수와 절댓값의 부호가 바뀌는 구간을 먼저 스케치하세요(14·15번 대비).
6. 복합 도형에서는 위치를 제한하는 조건부터 찾으세요. 고정점과 넓이 관계, 변 위의 점의 범위, 거리비로 정해지는 자취를 정리한 뒤 계산을 시작하세요(13·16·18번 대비).