세화고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

세화고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

세화고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 순열조합, 함수, 합성함수와역함수, 무리함수, 유리함수입니다. 순열과 조합의 기본 계산에서 시작하지만 함수의 대응 관계와 그래프의 성질을 깊게 활용하는 방향으로 이어집니다.

함수 문항은 식을 구하는 계산에만 머물지 않습니다. 일대일성으로 가능한 대응을 제한하거나 합성 조건을 반복 대응의 순환으로 바꾸어야 합니다. 그래프에서는 근호의 정의 조건, 점근선, 치역의 경계를 따로 표시해야 교점이나 실근의 개수를 정확하게 판단할 수 있습니다.

서술·단답형에서도 다양한 접근이 요구됩니다. 함수의 개수와 치역을 다루는 문항 사이에 자리 조건의 경우 세기, 유리함수의 사분면 판단, 조합식의 변형이 섞여 있습니다. 단원 이름으로 풀이를 예상하기보다 주어진 조건이 무엇을 제한하는지 먼저 문장으로 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·17번, 보통은 3·4·9번입니다. 초반의 순열·조합 계산을 확보한 뒤 일대일함수와 합성함수로 넘어가는 구성입니다. 보통으로 분류된 9번도 합성 순서와 치역을 이용한 논증을 읽어야 하므로, 계산량이 적다는 이유만으로 조건 확인을 생략해서는 안 됩니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 5~8번에서 연속으로 등장합니다. 무리함수의 역함수와 거리, 매개변수에 따른 그래프의 교점, 구간별 합성함수, 높이에 따른 실근 개수를 다룹니다. 모두 그래프를 그리기 전에 정의역과 구간을 정해야 한다는 공통점이 있습니다.

10~16번과 18번도 어려움으로 분류됩니다. 함수의 개수를 셀 때 전체 대응을 무작정 나열하거나 사분면을 그림의 인상으로만 판단하면 시간이 길어질 수 있습니다. 분류는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 먼저 구조를 파악하는 연습이 필요한 구성입니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 공동 중심

순열조합은 1·2번의 기본형에서 11번의 크기·짝수 조건, 15번의 조합식 변형, 18번의 색칠 조건으로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 자리부터 정하는 문제와 식의 형태를 바꾸는 문제가 다르므로, 공식 암기만으로 묶어 준비하기 어렵습니다.

함수는 3·10·12·13·16번입니다. 일대일함수의 치역 중복 여부, 대칭 조건이 있는 대응, 반복 합성의 순환, 공역으로 갈 수 있는 서로 다른 값의 수를 다룹니다. 함수의 정의를 집합 사이의 대응으로 설명할 수 있어야 후반 문제의 조건을 세기 문제로 옮길 수 있습니다.

합성함수와역함수는 반복 합성, 구간별 그래프, 합성 순서와 정의역을 폭넓게 다룹니다. 무리함수는 5·6·8번이 모두 자동 분류 기준 어려움이고, 유리함수는 14번에 배치되어 있습니다. 그래프를 다루는 공부에서는 식 정리와 함께 끝점 포함 여부와 부호표를 반드시 남기세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 구성은 같고 어려움 분류는 증가

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 18문항, 서술·단답형 9문항의 구성도 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 3문항에서 올해 12문항으로 늘었습니다. 작년에는 11·15·16번에 있던 어려움 분류가 올해는 객관식 5~8번에도 나타나므로, 문항 형식만으로 풀이 부담을 예상하기 어렵습니다.

겹치는 단원을 보면 순열조합은 작년 8문항에서 올해 5문항, 무리함수는 5문항에서 3문항, 유리함수는 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 올해는 함수 5문항과 합성함수와역함수 4문항이 배치되어 대응과 합성 조건을 준비할 필요가 큽니다. 다음 시험 대비에서는 작년의 단원 비중만 따라가기보다 올해 확인된 일대일성·치역·반복 합성 유형까지 학습 범위를 넓히세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 대상을 묶는 기준이 필요하다는 것입니다. 높이 구간, 대응의 순환, 같은 출력의 묶음을 먼저 표시한 뒤 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번의 기본 계산을 확보하고, 3·4번에서 조건을 정확히 읽으세요. 5~8번에서 그래프 분류가 길어지면 표시한 뒤 9번과 서술·단답형 전체를 확인하는 운영을 연습하세요. 특히 17번은 뒤에 있지만 자동 분류 기준 쉬움이므로 번호순으로만 풀다가 놓치지 않는 것이 좋습니다.

서술·단답형에서는 계산에 앞서 분류 기준을 짧게 남기세요. 10번은 대칭인 입력의 대응, 11번은 높은 자리의 비교, 12번은 순환 구조를 출발점으로 삼을 수 있습니다. 풀이가 막힐 때는 같은 계산을 반복하기보다 경우를 나누는 기준이 서로 겹치거나 빠져 있지 않은지 점검하세요.

검토할 때는 3·7·8번의 경계점, 6·14번의 정의되지 않는 입력, 17번의 합성 정의역을 우선 확인하세요. 16번은 자연수 개수와 부등식의 경계가 일치하는지 살펴야 합니다. 연습에서는 구조를 해석하는 시간과 계산하는 시간을 나누어 기록하면 무엇 때문에 풀이가 길어지는지 파악하기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합의 기호, 곱의 법칙을 복습한 뒤 자리 조건을 결합하세요. 홀짝 조건을 먼저 고정하고 높은 자리부터 크기를 비교하는 연습을 하세요(1·2·11번 대비).
2. 일대일함수의 정의를 치역의 중복과 연결하세요. 구간별 함수와 유한집합의 대응에서 같은 출력이 생기는 상황을 설명해 보세요(3·10·13번 대비).
3. 합성 순서와 정의역을 먼저 정리한 뒤 반복 합성을 순환으로 읽는 연습을 하세요. 기본 대응 그림에서 출발해 역함수 조건으로 확장하세요(4·9·12·17번 대비).
4. 그래프의 정의역·치역·증감을 표로 정리하세요. 구간별 합성, 역함수의 대칭, 수평선과의 교점을 함께 연습하세요(5·6·7·8번 대비).
5. 유리함수의 기본형과 퇴화하는 경우를 구별하고 사분면 조건을 부호 조건으로 바꾸세요. 집합의 원소 수는 정수 범위와 끝점까지 확인하세요(14·16번 대비).
6. 조합식을 연속된 인수의 곱으로 바꾸고, 색칠 문제는 이웃 관계를 그림과 표로 다시 표현하세요. 공식을 고르기 전에 식이나 도형의 구조를 설명해 보세요(15·18번 대비).