청원고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

청원고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

청원고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 행렬, 순열조합, 여러가지부등식, 여러가지방정식입니다. 행렬의 정의와 연산에서 출발해 조건에 맞는 경우 세기, 방정식의 치환, 부등식의 해석으로 이어집니다.

행렬에서는 곱셈 가능 여부와 성분 계산뿐 아니라 가중평균의 표현, 거듭제곱의 반복 구조까지 다룹니다. 순열조합도 공식을 직접 계산하는 문항에서 자릿수별 출현 횟수, 약수의 개수, 경기 방식에 따른 경우 세기로 확장됩니다. 공식의 모양을 외우는 데서 나아가 무엇을 세거나 나타내는지 설명할 수 있어야 합니다.

객관식과 서술·단답형이 후반에 섞여 있다는 점도 중요합니다. 11~14번은 서술·단답형이지만 자동 분류 기준 보통 또는 쉬움입니다. 앞의 9번에서 시간이 걸리더라도 이후의 기본 문항을 확인하고, 풀이가 보이는 문제부터 처리하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 떨어져 있는 고난도와 중간의 기본 문항

쉬움 문항은 초반의 행렬 기본형과 중간의 서술·단답형에 나뉘어 있습니다. 1·3번에서는 행렬의 크기와 성분별 연산을, 12·13·14번에서는 절댓값 부등식의 기본 성질, 순열과 조합의 계산, 성분 규칙을 확인합니다. 이 구간은 복잡한 발상보다 정의를 정확히 적용하는 것이 중요합니다.

보통 문항은 전체에서 가장 큰 비중을 차지합니다. 6번의 공통부분 치환, 7번의 항상 성립하는 조건, 8번의 거듭제곱 주기처럼 계산 전에 구조를 읽어야 하는 문제도 포함됩니다. 자동 분류 기준 보통이라고 해서 모든 문항이 단순 대입만으로 끝나는 것은 아니므로, 개념을 적용할 이유까지 연습하세요.

어려움 문항인 9·15·18번은 각각 별도의 접근이 필요합니다. 9번은 상한을 결정하는 조건과 정수해를 연결하고, 15번은 복소수 관계와 행렬 연산을 결합하며, 18번은 매개변수를 정한 뒤 해집합을 다시 구합니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 행렬·순열조합의 비중과 부등식의 조건 해석

행렬은 곱셈의 정의, 일차식 형태의 계산, 성분의 해석, 거듭제곱을 고르게 다룹니다. 14번처럼 성분 규칙으로 행렬을 만드는 연습을 한 뒤 8번의 반복 구조로 넘어가세요. 15번에서는 허근이 만족하는 관계식까지 필요하므로, 행렬 단원만 따로 복습하면 준비가 끊길 수 있습니다.

순열조합은 2번의 홀짝 분류와 19번의 경기 수처럼 상황을 나누어 세는 문항이 눈에 띕니다. 10번은 각 자릿수에 나타나는 횟수를 활용하고, 16번은 약수 개수를 지수 선택의 곱으로 바꿉니다. 보통으로 분류된 문항에서도 순서의 유무, 분류의 중복, 누락된 경기를 확인해야 합니다.

여러가지부등식에는 자동 분류 기준 어려움 문항인 9·18번이 포함됩니다. 활용 문제의 자연수 조건에서 시작해 항상 성립하는 조건, 정수해의 경계, 절댓값과 이차부등식의 교집합까지 준비하세요. 여러가지방정식의 6·11번은 치환과 인수분해로 경우를 나눈 뒤 원래 조건을 확인하는 연습에 적합합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 노원구의 구성과 청원고의 준비 방향

같은 2025학년도 1학년 1학기 기말고사 공통수학1을 치른 노원구 학교들과 견주면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 20.5문항, 서술·단답형은 2.2문항입니다. 청원고는 총 19문항으로 문항 수는 적지만 서술·단답형은 6문항으로 더 많습니다. 풀이 형식이 바뀌어도 개념과 계산을 스스로 정리하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 청원고가 16%이며 이웃 학교 평균은 24%입니다. 청원고를 포함한 7개교 중 어려움 비율은 5위입니다. 이 수치만으로 시험 전체의 부담을 판단하기보다, 청원고의 서술·단답형 구성과 9·15·18번의 조건 처리에 초점을 맞추세요.

순열조합이 가장 많은 학교가 여럿 있으며, 불암고는 행렬, 대진고는 이차함수의 비중이 가장 큽니다. 청원고는 행렬과 순열조합이 함께 중심을 이루고 부등식에 분석상 고난도 문항이 배치됩니다. 따라서 경우의 수 문제만 반복하기보다 행렬의 성분·거듭제곱과 부등식의 끝점 검토를 함께 준비하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 풀이 구조를 살펴 분석상 고난도 문항으로 다룹니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 조건을 정리하는 단계와 최종 대상을 계산하는 단계를 구별해야 하므로, 각 단계에서 무엇을 확정했는지 짧게 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 행렬 기본 계산과 순열·조합의 정의가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 9번에서 상한의 경우 분류가 정리되지 않으면 표시하고 넘어가 10~14번을 확인하는 것이 좋습니다. 서술·단답형이라는 이유만으로 12·13·14번을 마지막까지 미루면 기본 문항을 처리할 시간이 줄어들 수 있습니다.

8·15번에서는 높은 거듭제곱을 직접 계산하기 전에 낮은 차수에서 구조를 찾으세요. 연습할 때는 반복 묶음과 남는 부분을 따로 표시하고, 성분의 합을 요구하는지 행렬 자체를 요구하는지도 구별하세요. 16번은 약수 개수의 분해 형태를 먼저 목록으로 정리하면 후보를 빠뜨린 채 큰 수 계산에 들어가는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토는 조건별로 진행하세요. 7번은 최고차항의 계수가 사라지는 경우, 9번은 정수와 등호, 11번은 변수 부호의 대응, 18번은 구간의 교집합이 핵심입니다. 19번에서는 리그와 토너먼트 외에 따로 치르는 경기가 있는지 다시 읽고, 구한 수가 어떤 경기들을 합한 것인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 행렬의 크기, 성분, 실수배를 복습하세요. 첨자의 뜻을 말로 설명하고 곱셈 가능 여부를 먼저 판별하는 습관을 들이세요(1·3·14번 대비).
2. 행렬 곱의 성분이 나타내는 양과 거듭제곱의 반복 구조를 연습하세요. 기본 반복형을 익힌 뒤 허근의 관계식을 사용하는 결합형으로 확장하세요(5·8·15번 대비).
3. 순열과 조합의 구별을 익힌 뒤 홀짝 분류, 자릿수별 출현 횟수, 경기 방식별 경우 세기를 연습하세요. 분류마다 중복과 누락을 점검하세요(2·10·13·17·19번 대비).
4. 곱의 법칙을 약수 개수와 연결하세요. 가능한 지수 구성을 먼저 나열한 뒤 작은 소수와 큰 지수를 대응시켜 후보를 비교하세요(16번 대비).
5. 연립방정식에서는 공통부분 치환과 인수분해를 먼저 검토하세요. 해를 개별 값으로만 보지 말고 변수의 합·곱과 순서쌍의 대응으로 확인하세요(6·11번 대비).
6. 부등식은 수직선에 끝점과 등호를 표시하는 기본형부터 시작하세요. 자연수 조건, 항상 성립하는 조건, 정수해의 최댓값, 매개변수 결정 뒤 교집합 구하기로 넓혀 가세요(4·7·9·12·18번 대비).