중앙고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

중앙고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

중앙고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 순열조합, 여러가지부등식, 여러가지방정식, 행렬입니다. 순열과 조합의 기호를 이해하는 기본형부터 정수 조건과 근의 개수를 함께 해석하는 유형까지 확인할 수 있습니다.

초반에는 순열의 수와 조합의 수를 직접 적용하지만, 뒤로 갈수록 식을 세우기 전의 판단이 중요해집니다. 자연수의 범위를 제한하고 경우를 나누거나, 배열 조건을 나머지로 바꾸거나, 방정식의 실근 개수에서 계수 조건을 끌어내야 합니다. 공식을 기억하는 것에 더해 그 공식을 적용할 대상이 무엇인지 설명하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 방정식과 순열조합에서 출제되었습니다. 조건을 대입해 후보를 찾는 계산만으로 끝내지 말고, 서로 다른 실근인지와 자연수 조건에 맞는지까지 확인해야 합니다. 풀이를 쓸 때는 조건 해석, 경우 분류, 후보 검토가 서로 연결되도록 정리하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석에 대비

1·2번은 순열과 조합의 기본 적용을 확인합니다. 3~12번은 보통으로 분류되지만 풀이의 출발점은 다양합니다. 절댓값을 없애기 위한 구간 분류, 연립방정식의 유일한 해와 중근의 연결, 행렬의 곱셈 순서처럼 서로 다른 개념을 정확히 꺼내야 합니다.

13·14번에서는 경우의 수를 세기 전에 조건의 구조를 정리하는 부담이 커집니다. 이후 15번은 보통으로 돌아오고, 16번부터 서술·단답형까지 어려움 문항이 이어집니다. 따라서 13번에서 풀이가 길어져도 나머지 문항을 먼저 살펴볼 수 있도록 순서를 유연하게 운영하세요.

난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다. 이 시험에서는 보통 구간의 정수 해와 경계 처리를 안정적으로 마치고, 후반의 경우 분류를 검토할 시간을 남기는 전략이 유효합니다.

출제 단원 — 순열조합과 부등식의 비중

순열조합은 기호 계산, 조건을 만족하는 자연수의 경우 분류, 나머지에 따른 배열, 집단별 선택, 카드 재분배, 일반화된 경우의 수까지 폭이 넓습니다. 순서를 구별하는지, 각 경우가 서로 겹치지 않는지, 선택 조건을 모두 반영했는지를 계산 전에 점검해야 합니다.

여러가지부등식은 절댓값과 정수 해를 중심으로 이어집니다. 3·7번에서는 구간별 부호를, 9·10번에서는 해의 범위와 정수 조건을 확인합니다. 12번은 도형의 성립 조건까지 결합하고, 16번은 정수 해 정보에서 이차함수의 모양과 근의 위치를 역으로 추론합니다.

여러가지방정식에서는 허근의 성질, 유일한 해, 서로 다른 실근의 개수를 구별해야 합니다. 행렬로 분류된 6·11번은 연산과 성분 해석이 중심이지만, 순열조합으로 분류된 14번에도 행렬의 성분이 등장합니다. 단원별 학습 뒤에는 개념이 함께 쓰이는 문제도 풀어 보세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 시험

서울 지역에서 같은 2025학년도 1학년 1학기 기말 공통수학1을 치른 학교들과 비교하면, 중앙고는 문항 수와 서술·단답형 수가 모두 지역 평균보다 적습니다. 이웃 학교의 평균은 전체 22.6문항, 서술·단답형 2.6문항입니다. 자동 분류 기준 어려움 비율도 중앙고 28%로 지역 평균 33%보다 낮으며, 11개교 중 6위입니다.

가장 많은 단원은 중앙고와 여러 이웃 학교가 순열조합으로 같지만, 세화여자고등학교와 이화여자고등학교는 행렬, 서울세종고등학교는 여러가지부등식입니다. 중앙고를 준비한다면 순열조합의 조건 분류와 부등식의 정수 해를 우선 익히세요. 문항 수가 적다는 이유로 여유를 예상하기보다 후반의 복합 조건을 정리하는 데 필요한 시간을 연습으로 확인하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 표현을 바꾸어야 한다는 것입니다. 배열을 나머지로, 정수 해를 부호와 근의 위치로, 실근 개수를 판별식과 공통근 조건으로 옮기는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 안정적으로 처리하고, 분류 기준이 바로 보이지 않는 문항에 표시를 남기세요. 특히 13·14번에서 오래 멈추기 전에 15번과 서술·단답형의 요구를 확인하는 것이 좋습니다. 제한 시간 안에 풀어 보면서 계산보다 경우를 정리하는 데 오래 걸리는 문제를 따로 기록하세요.

서술·단답형을 위한 시간에는 계산뿐 아니라 근거를 적고 검토하는 과정도 포함하세요. 17번은 실근의 개수와 공통근 조건을 먼저 정리하고, 18번은 위치별 조건을 반영한 경우의 수 표현부터 세워 보세요. 중간에 사용한 정수·자연수 조건을 마지막 검토까지 눈에 보이게 남겨 두는 것이 좋습니다.

마지막 검토에서는 3·7·9·10번의 정수 경계, 12번의 삼각형 성립 조건, 15번의 정확한 인원 조건을 우선 확인하세요. 6·11번은 행렬곱의 순서와 성분 위치를 다시 보고, 16·17번은 제외해야 할 점이나 중복된 근이 남아 있지 않은지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합의 기호를 상황의 언어로 설명하세요. 순서를 구별하는지 먼저 판단한 뒤 집단별 선택을 곱으로 연결하세요(1·2번 대비).
2. 절댓값 부등식과 정수 해를 함께 연습하세요. 구간별 해를 수직선에 겹치고 열린 경계와 닫힌 경계를 구별하세요(3·7·9·10번 대비).
3. 경우의 수는 분류 기준을 먼저 적는 습관을 들이세요. 자연수 범위, 나머지, 집단별 인원, 자기 카드 수령 여부로 문제를 나누어 보세요(8·13·14·15번 대비).
4. 허근의 거듭제곱 관계와 실근 개수 조건을 구별해 복습하세요. 판별식에 더해 인수 사이의 공통근까지 확인하세요(4·5·17번 대비).
5. 부등식의 해를 구하는 연습에서 조건을 역으로 추론하는 연습으로 확장하세요. 도형의 성립 조건과 정수 해의 제외 조건을 빠짐없이 기록하세요(12·16번 대비).
6. 행렬 연산과 일반화된 경우의 수를 각각 정리하세요. 성분의 의미를 설명하고, 문자로 표현한 식에서도 원래 선택 조건이 유지되는지 검토하세요(6·11·14·18번 대비).