잠신고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

잠신고 고2 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 이차곡선과 평면벡터입니다. 이차곡선은 쌍곡선을 다루고, 평면벡터는 같은 벡터의 판정과 덧셈·뺄셈을 도형의 길이 관계에 연결합니다.

쌍곡선의 표준형을 알아보는 데서 출발하지만, 중반에는 직선과의 위치 관계와 초점까지의 거리를 해석해야 합니다. 같은 방정식도 계수를 읽는 문제, 점근선을 비교하는 문제, 거리의 합을 바꾸는 문제로 쓰이므로 공식을 외운 뒤 적용 조건까지 설명하는 연습이 필요합니다.

문항 번호가 커진다고 계속 어려워지는 배열은 아닙니다. 객관식 중반에 분석상 고난도 문항이 있고, 후반에는 벡터의 기본 연산을 이용하는 문항이 이어집니다. 막힌 문항을 표시하고 뒤의 접근 가능한 문제를 먼저 확인하면 서술·단답형 작성 시간도 확보할 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반 이차곡선에 모인 어려움

자동 분류 기준 쉬움은 초반의 1~4번과 벡터 구간의 16·17·19·20번, 서술·단답형 23번에 있습니다. 초점과 꼭짓점을 구별하고 벡터의 방향을 정확히 읽으면 풀이를 짧게 정리할 수 있는 문항들입니다.

보통 문항은 쌍곡선의 평행이동, 접선 사이의 거리, 도형의 넓이처럼 개념을 연결하는 과정이 필요합니다. 특히 10·12번은 직선을 대입한 뒤 식의 형태와 부호를 해석해야 하므로, 계산을 마쳤다는 이유만으로 교점 판정을 끝내면 안 됩니다.

어려움으로 분류된 11·14·15번은 각각 매개변수에 따른 교점, 거리 합의 최솟값, 접선과 내분 조건의 결합을 다룹니다. 마지막 22번은 보통, 23번은 쉬움이므로 서술·단답형이라는 형식 자체를 난이도와 동일하게 받아들이지 마세요.

출제 단원 — 쌍곡선 중심의 이차곡선

이차곡선은 16문항으로 가장 많고 분석상 고난도 문항도 모두 이 단원에 있습니다. 쌍곡선의 초점·주축·점근선을 표준형에서 읽는 기본기를 마련한 뒤, 직선의 기울기와 초점까지의 거리를 연결하는 순서로 공부하는 것이 효율적입니다.

평면벡터는 7문항이며 자동 분류 기준 쉬움과 보통으로 구성됐습니다. 다만 화살표의 방향을 무시하거나 벡터를 정리하기 전에 크기부터 계산하면 기본 문항에서도 오류가 생깁니다. 도형의 길이 계산과 벡터 연산을 구분해 적는 습관이 필요합니다.

서술·단답형은 이차곡선의 접선과 수직선으로 넓이를 구하는 22번, 직사각형에서 벡터의 합을 정리하는 23번입니다. 앞에서 익힌 개념을 답안으로 연결하는 문항이므로 새 풀이를 찾기보다 출발 관계와 길이 계산의 근거를 명확히 쓰세요.

문항별 정리

문항별 난이도는 자동 분류 기준입니다. 원문 수치와 답의 값 대신 핵심 개념과 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 과목이 달라 구성 중심으로 확인

작년인 2023학년도 자료는 수학I이고 올해는 기하로 과목이 다릅니다. 표의 최다 단원은 각 시험의 구성 확인용이며, 서로 겹치는 단원이 없어 단원별 출제 비중의 증감을 직접 비교하기는 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 3문항으로 줄었습니다. 작년에는 8·12번과 15~20번, 22번에 어려움이 있었으나 올해는 11·14·15번에 모였습니다. 다만 과목과 문항 형식이 달라 이 차이만으로 실제 체감 난이도가 낮아졌다고 단정할 수는 없습니다.

서술·단답형은 작년 5문항에서 올해 2문항으로 줄었고, 올해는 후반 평면벡터에서 기본 연산을 확인할 여지가 있습니다. 다음 시험 대비에서는 작년의 배치에 기대기보다 기하 범위의 접선·거리 조건과 벡터 연산을 먼저 완성하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들의 공통점은 계산 결과보다 조건을 연결하는 순서가 중요하다는 것입니다. 자동 분류 기준 어려움인 문항을 분석상 고난도 문항으로 골랐으며, 이용자 투표에 따른 난이도 순위는 아닙니다. 식을 세운 근거와 경계·등호 조건을 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 표준형과 벡터 기본 연산처럼 풀이의 출발점이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 11·14·15번에서 접근이 잡히지 않으면 표시하고 16번 이후를 확인하는 편이 좋습니다. 뒤에도 쉬움과 보통 문항이 있으므로 중반에서 시간을 모두 소진하지 마세요.

서술·단답형 22·23번은 객관식 이후 따로 살펴볼 시간을 남겨 두세요. 22번은 접선과 수직선의 교점을 구하는 과정, 23번은 벡터 합을 대각선으로 바꾸는 과정이 답안의 출발점입니다. 계산에 앞서 밑변과 높이, 또는 합성된 벡터가 무엇인지 적으면 검토도 수월합니다.

검산할 때는 8번의 퇴화하는 경계, 10·11·12번의 점근선 방향, 14번의 사분면과 등호 성립, 15번의 내분비와 양수 조건을 우선 확인하세요. 벡터 문항에서는 같은 크기와 같은 벡터를 구분하고, 뺄셈 기호를 방향 반전으로 바꾸었는지 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 쌍곡선의 표준형에서 주축·초점·점근선을 함께 읽으세요. 주축의 방향이 바뀌는 식도 번갈아 연습합니다(1·3·4·6번 대비).
2. 평행이동과 완전제곱식으로 도형의 중심과 방향을 확인하세요. 경계에서 도형이 바뀌는 이유도 설명합니다(5·8번 대비).
3. 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우의 접선을 구분하세요. 거리·내분·수직선 조건을 하나씩 추가해 연습합니다(2·7·15·22번 대비).
4. 직선을 대입한 식에서 차수와 부호를 확인하고 교점 개수를 판단하세요. 점근선 방향은 반드시 따로 검토합니다(10·11·12번 대비).
5. 쌍곡선의 정의를 거리 관계에 적용하고 넓이와 대칭성을 연결하세요. 최솟값 문제에서는 등호 성립 가능성까지 설명합니다(9·13·14번 대비).
6. 벡터의 합과 차를 먼저 하나의 벡터로 정리한 뒤 길이를 계산하세요. 같은 벡터의 판정과 방향을 반영한 개수 세기도 함께 연습합니다(16~21·23번 대비).