잠신고등학교
2023년 2학년 1학기 중간고사

잠신고 2학년 1학기 중간 기하는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 이차곡선 가운데 포물선과 타원을 중심으로 구성됐습니다. 초점과 준선으로 방정식을 세우는 기본 문제부터 평행이동한 곡선의 접선, 공통점과 거리 조건을 다루는 문제까지 연결됩니다.

초반에는 표준형에서 초점과 준선을 읽고 접선 공식을 적용하는 능력이 중요합니다. 다만 외운 식에 좌표만 대입해서는 충분하지 않습니다. 어느 방향으로 열린 포물선인지, 타원의 장축이 어느 축과 나란한지 판단한 뒤 공식을 선택해야 합니다.

중후반에는 같은 이차곡선 단원 안에서 조건의 표현 방식이 달라집니다. 교점의 개수는 대칭성과 연립방정식으로, 수직인 접선은 기울기 관계로, 거리비는 자취의 방정식으로 옮겨야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 미지수로 둘지 결정하는 과정이 중요합니다.

난이도 분포 — 기본 적용 사이에 배치된 연결형 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간도 단순 암산만으로 해결하는 구성은 아닙니다. 4·5번은 접선 공식을 상황에 맞게 적용해야 하고, 11번은 타원과 직선이 만나는 조건을 판별식으로 옮겨야 합니다. 기본 절차가 안정돼 있어야 이 구간에서 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 구간에서는 완전제곱식 정리와 도형 해석을 결합합니다. 6번은 서로 다른 포물선에서 얻은 초점과 준선을 연결하고, 12번은 포물선의 초점을 타원의 초점 조건으로 사용합니다. 각 공식은 익숙해도 앞 단계의 결과를 다음 단계에 잘못 옮기면 풀이가 흔들립니다.

어려움은 마지막에만 모여 있지 않습니다. 10·14번에서 교점 조건을 해석한 뒤 17·19번에서는 접선의 수직 조건을 다룹니다. 마지막 24번은 정의에서 얻은 길이 정보를 접선과 삼각형 넓이로 이어야 하므로, 객관식 뒤에도 풀이 과정을 정리할 여유를 남기세요.

출제 단원 — 이차곡선 안에서 포물선과 타원을 연결

전부 이차곡선이라고 해서 같은 풀이가 반복되는 시험은 아닙니다. 포물선에서는 초점·준선의 정의와 접선, 타원에서는 중심·반축·초점 사이의 관계와 접선이 기본 재료입니다. 방정식을 표준형으로 고친 뒤 도형의 정보를 읽는 절차를 공통 기반으로 삼으세요.

특히 12·17·22번은 포물선과 타원을 함께 다룹니다. 한 곡선에서 얻은 초점이나 공통점의 관계를 다른 곡선에 적용해야 합니다. 개별 곡선의 공식을 따로 암기하는 데서 나아가, 같은 점과 같은 거리가 각 곡선에서 어떤 의미인지 설명하는 연습이 필요합니다.

접선 문제도 접점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 곡선 밖의 점이 주어진 경우로 구분하세요. 3·4·8번의 기본형을 먼저 익힌 뒤 15·17·19·23번으로 확장하면, 문제마다 새 공식을 찾는 대신 조건에 맞는 출발식을 선택할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 고려한 구성 비교

작년 시험은 수학I이고 올해는 기하이므로 같은 과목의 연속된 난도 변화로 해석할 수 없습니다. 작년에는 삼각함수가 가장 많았지만 올해는 이차곡선으로 구성됐으며, 겹치는 단원이 없어 단원별 증감을 직접 비교하기 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움은 두 시험 모두 7문항입니다. 다만 쉬움은 줄고 보통은 늘어 기본 적용 뒤의 연결 과정을 안정적으로 처리하는 준비가 필요합니다. 작년 어려움은 12번부터 나타났고 올해는 10번부터 나타나며, 올해 서술·단답형에서는 24번이 어려움으로 분류됐습니다.

다음 준비에서는 작년의 주력 단원을 그대로 따라가기보다 실제 기하 범위를 기준으로 학습하세요. 표준형 변환과 접선의 기본형을 익힌 다음, 공통점·거리비·수직 조건으로 넓혀 가는 순서가 이번 시험의 구성에 맞습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 분석상 고난도 문항으로, 서로 다른 조건을 같은 미지수나 같은 거리로 표현하는 과정이 공통점입니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 결과보다 어떤 조건을 먼저 사용했는지 말로 설명해 보세요. 그 선택이 다음 식의 복잡도를 줄이는 이유까지 확인하는 것이 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 표준형과 접선 공식을 바로 적용할 수 있는 문제부터 처리하세요. 10·14번에서 풀이 방향이 보이지 않으면 표시하고 넘어간 뒤 15·16·20번처럼 익숙한 절차의 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 번호가 뒤라는 이유만으로 모두 오래 걸릴 문제라고 판단하지 마세요.

23·24번을 마지막 순간에 처음 읽는 상황은 피하세요. 23번은 외부점에서의 접선이라는 기본 절차를 서술하는 문제이고, 24번은 정의에서 넓이까지 연결하는 과정이 필요합니다. 연습할 때 객관식 풀이가 끝나는 시점과 서술·단답형 작성에 걸린 시간을 기록해 배분을 조정하세요.

검산에서는 이동 좌표의 부호, 장축 방향, 접하는 경우를 포함하는지, 거리의 절댓값을 확인하세요. 특히 점의 위치 조건은 그림만으로 추측하지 말고 원래 조건과 방정식에 함께 대조해야 합니다. 제곱하거나 미지수로 나눈 뒤에는 원래 조건에 맞는지 되돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 표준형 변환과 초점·준선 읽기부터 점검하세요. 완전제곱식을 만든 뒤 꼭짓점과 방향을 말로 설명하는 연습을 하세요(1·2·6·7·20번 대비).
2. 접선의 기본형을 조건별로 구분하세요. 접점, 기울기, 외부점 중 무엇이 주어졌는지 표시하고 첫 식을 세워 보세요(3·4·5·8·9·23번 대비).
3. 평행이동과 도형의 길이를 연결하세요. 이동한 좌표 기준으로 접선식을 세우고 밑변과 높이를 따로 표시하세요(15·16·24번 대비).
4. 교점 개수와 위치 관계를 연습하세요. 대칭으로 경우를 줄일지, 대입과 판별식을 쓸지 먼저 결정하세요(10·11·14번 대비).
5. 정의와 거리 조건을 집중해서 복습하세요. 초점거리와 준선까지의 거리를 바꾸고 거리비를 자취의 식으로 옮겨 보세요(12·13·18·21·22번 대비).
6. 접선의 수직 조건을 공통점형과 외부점형으로 나눠 풀어 보세요. 풀이 뒤에는 분모 조건과 실제 접선의 존재를 확인하는 문장을 덧붙이세요(17·19번 대비).