잠신고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

잠신고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 이차곡선과 평면벡터이며, 이차곡선 문항은 쌍곡선에 집중돼 있습니다. 포물선이나 타원까지 넓혀 설명하기보다 쌍곡선의 방정식과 기하적 성질을 얼마나 연결할 수 있는지 살펴보는 것이 적절합니다.

쌍곡선에서는 초점과 점근선으로 방정식을 정하는 기본형에서 출발해 평행이동, 접선, 거리와 넓이로 이어집니다. 공식을 대입하는 데서 끝나지 않고, 주어진 점이 접점인지 접선이 지나는 점인지 판단해야 합니다. 같은 접선 공식도 어떤 조건을 먼저 넣는지에 따라 풀이의 길이가 달라집니다.

평면벡터에서는 덧셈과 뺄셈, 같은 벡터의 의미를 도형에 적용합니다. 정육각형과 평행사변형의 대칭성, 중점 관계를 이용해 식을 단순하게 만드는 것이 중심입니다. 뒤쪽에 기본 문항이 있으므로 앞의 쌍곡선에서 막혔다고 남은 문항까지 어렵다고 판단하지 마세요.

난이도 분포 — 중간의 쌍곡선 고비와 후반의 벡터 기본형

자동 분류 기준의 쉬움 문항은 1~3번과 17~20번입니다. 처음에는 쌍곡선의 기본 관계와 접선 공식을, 후반에는 벡터의 연결과 도형의 성질을 확인합니다. 이 구간을 정확하게 처리하면 접선과 거리 조건이 복합된 문항에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 문항은 단순 암기보다 조건 해석을 요구합니다. 7번은 직선을 대입한 결과의 차수를, 10·11·16번은 평행이동 뒤의 중심과 식을 점검해야 합니다. 21·22번에서는 벡터식을 길이로 바로 바꾸기 전에 방향과 중점 관계부터 정리해야 합니다.

어려움 문항은 8번에서 먼저 등장하고 13~15번에 이어집니다. 마지막 24번도 여기에 해당합니다. 번호가 커질수록 계속 어려워지는 배열이 아니므로, 중간 고난도 구간을 잠시 보류하고 벡터 문항을 먼저 푸는 운영을 연습할 만합니다.

출제 단원 — 이차곡선 중심, 벡터는 방향과 도형 해석

이차곡선은 문항 수가 가장 많고 어려움 문항도 모두 포함합니다. 그중 접선은 기울기가 주어진 경우, 접점이 주어진 경우, 접선이 특정 점을 지나는 경우로 나뉩니다. 문제를 읽은 직후 이 조건들을 구별하고 알맞은 미지수를 두는 연습이 우선입니다.

평면벡터는 정의와 연산을 도형에 연결하는 역할을 합니다. 대각선의 교점이나 중심을 기준으로 벡터를 통일하면 시작점과 끝점을 읽기 쉬워집니다. 이차곡선에 학습 시간을 더 두되, 벡터의 부호와 방향 실수로 풀 수 있는 문항을 놓치지 않는 균형이 필요합니다.

문항별 정리

문항별 난이도 표시는 자동 분류 기준입니다. 아래에서는 원문과 풀이 전체 대신 핵심 개념과 점검할 조건을 정리합니다.

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 먼저 확인하세요

작년 같은 학년·학기 기말고사는 수학Ⅰ이고 올해는 기하입니다. 과목이 다르므로 단원 비중의 이동이나 같은 유형의 난이도 변화를 직접 비교할 수는 없습니다. 작년에는 등차등비수열, 올해는 이차곡선이 가장 많지만 서로 다른 학습 범위의 중심 단원으로 이해해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항 수는 작년보다 줄었고 서술·단답형도 줄었습니다. 다만 이 수치만으로 올해의 체감 부담이 반드시 작다고 단정할 수는 없습니다. 작년 어려움 문항은 10·12·13·15·16·17·18·19·23번에 있었고, 올해는 8·13·14·15·24번입니다. 올해 대비에서는 쌍곡선의 접선 조건과 거리 해석을 중심으로 공부하고 벡터 기본형을 안정적으로 처리하는 것이 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들의 공통점은 계산 전의 표현 선택에 있습니다. 거리를 접선 사이 간격으로, 좌표를 근의 관계로, 둘레를 초점까지 거리의 관계로 바꾸면 풀이가 정리됩니다. 자동 분류 기준의 어려움 문항 중 풀이 전환이 두드러지는 사례로 골랐으며, 이용자 투표로 어려움 순위가 확정된 것은 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음부터 번호 순서대로 모두 해결하려 하기보다 바로 식이 세워지는 문항부터 처리하세요. 8번이나 13~15번에서 접근이 떠오르지 않으면 표시하고 넘어가 17~20번의 벡터 기본형을 확인하는 편이 좋습니다. 전체 시험 시간이 확인되지 않았으므로 특정 분량을 단정하기보다 자신의 풀이 기록으로 구간별 소요 시간을 정하세요.

23번은 서술·단답형이므로 벡터식 정리, 중점에 따른 길이 관계, 길이 조건을 순서 있게 남기는 연습이 필요합니다. 24번은 다시 이차곡선으로 돌아오는 문항이므로 벡터를 끝냈다고 검토를 시작하지 말고 마지막 문항까지 범위를 확인하세요. 답안 작성과 검토에 쓸 여유도 별도로 남겨 두세요.

검토할 조건은 유형별로 묶는 것이 좋습니다. 4·7번은 퇴화와 대입 후 차수, 9·11번은 만나지 않음과 접함의 차이, 13·15번은 사분면과 가지 및 점의 순서가 핵심입니다. 벡터에서는 18·20·21번의 방향과 22·23번의 중점 관계를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 쌍곡선의 정의와 표준형을 복습하세요. 초점 거리와 축 방향, 계수의 역할을 말로 설명하고 식으로 옮깁니다(1·4·5·6번 대비).
2. 완전제곱과 평행이동을 묶어 연습하세요. 중심과 점근선을 찾고 지나는 점으로 곡선을 정하는 순서를 고정합니다(10·11·16번 대비).
3. 접선 조건을 구별하세요. 접점, 기울기, 접선이 지나는 점 중 무엇이 주어졌는지 먼저 표시합니다(2·3·12·13·14·24번 대비).
4. 직선 대입 뒤 차수와 판별식을 확인하세요. 접함과 만나지 않음을 구분한 뒤 평행한 접선을 이용한 거리 해석으로 확장합니다(7·8·9번 대비).
5. 거리 차를 그림에 표시하는 연습을 하세요. 가지와 초점의 위치, 직선 위 점의 순서를 확인하고 둘레를 선분 관계로 바꿉니다(15번 대비).
6. 벡터는 시작점을 통일하고 방향을 점검하세요. 정육각형과 평행사변형의 관계를 활용한 뒤 중점과 길이를 연결하는 풀이를 직접 씁니다(17~23번 대비).