잠신고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

잠신고 2학년 2학기 중간 기하는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 평면벡터를 범위로 하며, 객관식과 서술·단답형에서 성분 계산과 도형 해석을 함께 확인합니다. 범위가 한 단원이라고 해서 성분 연산만 반복해서 준비하기는 어렵습니다.

초반에는 벡터의 연산, 수직과 평행, 무게중심, 크기와 내적의 관계를 다룹니다. 중반에는 방향벡터로 직선을 나타내고 법선벡터로 식을 세우는 문제가 이어집니다. 개념마다 공식 하나를 외우는 데서 그치지 말고, 주어진 표현이 달라져도 같은 관계를 알아볼 수 있어야 합니다.

후반은 원의 접선, 정육각형의 대칭과 무게중심, 원 위를 움직이는 점의 거리처럼 도형의 성질이 풀이의 출발점입니다. 좌표를 구하는 과정에 들어가기 전에 어떤 길이나 벡터합을 줄일 수 있는지 살펴보세요. 이 판단이 불필요한 계산을 줄여 줍니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준이며, 비중은 반올림한 값입니다. 쉬움 문항은 초반에만 있는 것이 아니라 8·9·12번에도 배치되어 있습니다. 앞에서 막힌 문항을 오래 붙잡기보다 다음 문항의 요구를 확인하면서 풀 수 있는 문제를 확보하는 운영이 적절합니다.

보통 구간은 내적 계산뿐 아니라 직선의 표현을 바꾸는 능력을 요구합니다. 11번에서 직선 사이의 각을 읽고, 14~16번에서 평행·수직과 교점을 다루며, 18번에서는 직선과 원점 사이의 거리로 연결합니다. 직선의 식을 세우는 단계가 흔들리면 계산이 짧아도 실수하기 쉽습니다.

19~22번은 어려움이 연속되지만 23번은 자동 분류 기준 보통입니다. 객관식 후반을 모두 끝낸 다음에 서술형을 보겠다는 계획보다, 23번의 내적 전개를 먼저 정리할 여지를 두세요. 24번은 도형에서 필요한 길이를 확보한 뒤 내적의 정의를 적용해야 합니다.

출제 단원 — 평면벡터 안에서 이어지는 표현의 전환

단원 비중은 평면벡터에 집중되어 있습니다. 다만 학습은 성분 연산과 위치벡터, 내적, 직선의 방정식으로 나누어 점검하는 편이 좋습니다. 1·8·9번의 계산 정확도와 6·17번의 위치벡터 해석은 뒤 문항을 풀 때도 필요한 바탕입니다.

내적은 각을 구하는 도구이면서 수직 관계를 없애는 도구이기도 합니다. 5·13·23번은 크기의 제곱을 전개해 내적을 얻는 흐름이고, 20번은 접선과 반지름의 수직을 이용해 식을 줄이는 흐름입니다. 같은 공식을 어느 시점에 쓰는지가 달라지는 점에 주목하세요.

직선에서는 방향벡터와 법선벡터의 역할을 구별해야 합니다. 16·18번의 직선 구성은 19번의 원의 접선으로 이어집니다. 벡터가 직선과 평행한지 수직인지 먼저 표시하면 식의 계수를 잘못 배치하는 오류를 줄일 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 먼저 구분하세요

작년 같은 학년·학기 중간고사의 과목은 수학II이고, 이번 시험은 기하입니다. 과목이 달라 단원별 성취 수준이나 체감 난도를 직접 견주기는 어렵습니다. 두 시험에 겹치는 단원이 없으므로 단원 비중의 증감을 같은 내용의 변화로 해석해서는 안 됩니다.

자동 분류 기준으로 어려움은 두 시험 모두 5문항입니다. 쉬움은 2문항에서 7문항으로 늘고, 보통은 16문항에서 12문항으로 줄었습니다. 문항 구성상 기본 문제를 확보할 기회는 보이지만, 이 수치만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정할 수는 없습니다.

작년의 어려움은 16·17·18·19·23번, 이번은 19·20·21·22·24번에 있습니다. 이번 시험을 준비할 때는 객관식 후반과 마지막 서술·단답형을 위한 시간을 남기는 연습이 필요합니다. 작년의 함수 문제를 그대로 대비 유형으로 삼기보다 현재 범위인 벡터와 도형의 연결을 중심에 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 필요한 정보를 모두 좌표로 계산하기 전에 도형의 성질로 줄일 수 있다는 점입니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하는 문항 중 개념 연결을 살펴볼 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 결과보다 처음 사용한 도형 관계를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 기본 연산에서는 벡터의 방향과 성분 부호를 확인하며 진행하세요. 2·12번처럼 평행 조건에서 계수를 비교하는 문제는 기준 벡터들이 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다는 조건을 확인해야 합니다. 6번의 내분과 외분은 분모와 부호를 따로 점검하고, 9번은 크기뿐 아니라 방향도 같은지 확인하세요.

직선 구간에서는 사용할 벡터의 역할부터 적는 것이 시간을 줄입니다. 15번처럼 방향벡터의 성분 중 하나가 사라지는 경우에는 분수 꼴을 억지로 만들지 말고 매개변수나 좌표가 일정한 직선으로 표현하세요. 11번의 직선 사이의 각과 10번의 보각은 서로 다른 각 조건이므로 문제에서 요구한 각을 마지막에 다시 읽으세요.

19~22번에서 해석이 멈추면 표시하고 23·24번도 먼저 확인하세요. 23번에서는 벡터 크기의 제곱을 구한 상태로 끝내지 않도록 주의해야 합니다. 검토할 때는 19번의 절편이 어느 축인지, 22번의 고정점이 원 안쪽인지 바깥쪽인지, 24번에서 내적을 이루는 두 벡터의 출발점이 같은지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 성분 연산과 벡터 방향부터 점검하세요. 끝점에서 시작점을 빼는 순서와 단위벡터를 만드는 과정을 설명하며 풀어 보세요(1·8·9번 대비).
2. 평행·수직·일직선 조건을 구별하세요. 실수배 관계를 쓰는 경우와 내적을 쓰는 경우를 나란히 정리하세요(2·3·12·14번 대비).
3. 내분·외분과 무게중심의 위치벡터를 연습하세요. 같은 기준점으로 표현을 통일한 뒤 계수를 모으는 습관을 들이세요(4·6·17번 대비).
4. 내적의 정의와 크기 제곱 전개를 연결하세요. 내적을 먼저 구할지, 성분으로 직접 계산할지 판단하고 보각의 부호도 확인하세요(5·7·10·13·23번 대비).
5. 방향벡터와 법선벡터로 같은 직선을 각각 표현하세요. 교점과 점에서 직선까지의 거리 문제로 이어서 풀어 보세요(11·15·16·18·19번 대비).
6. 원의 접선·거리의 최대와 최소, 대칭과 중점을 복습하세요. 도형 관계를 먼저 적고 내적이나 위치벡터로 바꾸는 과정을 시간 재며 연습하세요(20·21·22·24번 대비).