서울고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

서울고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 이차곡선과 평면벡터이며, 포물선·타원·쌍곡선과 직선의 관계, 벡터의 연산 및 도형 활용이 중심입니다. 총 20문항에서 계산의 정확성과 기하적 해석을 함께 확인합니다.

초반에는 벡터의 합과 차, 실수배, 같은 벡터의 구별을 다루고, 이어 이차곡선의 접선 문제가 나옵니다. 접선 공식을 외웠더라도 넓이를 거리로 해석하거나 수직 조건을 기울기의 관계로 옮기지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

서술·단답형은 13·15·16·17·18·19·20번입니다. 14번은 객관식이므로 뒤쪽을 모두 같은 형식으로 생각하면 안 됩니다. 벡터 작도부터 접선의 방정식, 자취까지 요구하는 결과의 형태가 달라 문항마다 무엇을 남겨야 하는지 먼저 확인하세요.

난이도 분포 — 중반의 타원 접선과 후반의 조건 확인

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·3·11·13번입니다. 대부분 평면벡터의 기본 성질을 다루므로 방향과 부호를 정확히 읽는 것이 우선입니다. 특히 13번은 서술·단답형이지만 기본 작도이므로 뒤에 있다는 이유로 미루지 않는 편이 좋습니다.

자동 분류 기준 보통 문항에서는 접선 공식을 적용한 뒤 거리나 넓이로 연결하거나, 도형에서 벡터를 표현하는 단계가 붙습니다. 계산 자체보다 어떤 성질을 먼저 쓸지 결정하는 시간이 필요합니다. 18번은 이 구간에서도 수직 접선을 따로 확인해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 8~10번에서 연속으로 등장하고 14·17·20번에 다시 배치됩니다. 번호가 커질수록 계속 어려워지는 배열은 아닙니다. 중반에서 막혀도 뒤쪽의 기본 문항과 접근 가능한 서술·단답형을 확인해 풀이 흐름을 이어 가세요.

출제 단원 — 이차곡선의 접선 활용과 평면벡터의 도형 해석

이차곡선은 타원과 쌍곡선의 접선 활용이 중심입니다. 5·6번에서 기울기가 주어진 접선의 조건을 다루고, 7~10번에서는 접선으로 만든 도형의 넓이나 수직 관계로 확장합니다. 공식을 쓴 다음 어떤 양을 비교해야 하는지 설명할 수 있어야 합니다.

평면벡터는 기본 연산에서 출발해 정육각형·정사각형·평행선 격자에 적용합니다. 4·19번에서는 평행하지 않은 벡터를 기준으로 계수를 비교하고, 17번에서는 정사각형의 수직 관계를 이용해 벡터의 크기를 해석합니다. 그림과 식을 오가며 연산의 의미를 유지하는 연습이 필요합니다.

단원 경계도 함께 보세요. 이차곡선으로 분류된 12번은 벡터식을 초점까지의 거리로 읽은 뒤 타원의 정의를 씁니다. 단원별 문제 풀이를 마친 다음, 표현은 벡터이고 마무리는 이차곡선의 성질인 연결 문제도 연습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

난이도 표시는 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 접근 방향과 확인할 조건을 중심으로 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 분석상 고난도 문항들은 식을 세운 뒤의 조건 검토까지 요구한다는 공통점이 있습니다. 최적화의 등호, 기울기가 없는 직선, 교점이 합쳐지는 경계처럼 일반적인 계산에서 빠지는 부분을 따로 적어 두세요. 자동 분류 기준만으로 문항 사이의 절대적인 난도 순서까지 정할 수는 없습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 벡터 기본 문제와 5~7번의 접선 적용 문제에서 연산을 안정적으로 처리하세요. 8~10번에 들어가서는 계산을 계속하기 전에 넓이를 거리로 바꿀지, 접점 좌표로 나타낼지, 접선의 기울기를 미지수로 둘지부터 정해야 합니다. 출발점이 잡히지 않으면 표시하고 다른 문항을 확인하세요.

뒤쪽에는 11·13번 같은 자동 분류 기준 쉬움 문항과 서술·단답형이 섞여 있습니다. 중반의 접선 최적화에 시간을 모두 쓰지 말고, 벡터 작도와 계수 비교처럼 바로 시작할 수 있는 문항을 확보하세요. 서술·단답형에서는 핵심 관계식과 조건 확인을 남길 시간이 필요하므로 검산할 여유까지 포함해 연습하세요.

검토할 때는 6번의 양수 조건, 9번의 접점 위치와 등호 조건, 10·18번의 기울기가 없는 접선을 확인하세요. 14번에서는 만나지 않음과 서로 다른 교점의 부등호를 구별하고, 20번에서는 접하는 경계를 제외해야 합니다. 벡터 문제는 크기와 방향을 구별하고, 도형에서 얻은 직각 관계가 크기 계산에 반영됐는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 방향과 연산을 먼저 정리하세요. 시점과 종점을 이어 합을 표현하고, 차는 반대 벡터의 합으로 해석하는 작도를 반복하세요(1·2·3·11·13번 대비).
2. 평행하지 않은 벡터를 기준으로 도형을 표현하세요. 공통 시점으로 옮겨 계수를 비교하고, 정다각형과 격자의 이동을 식으로 설명하세요(4·15·19번 대비).
3. 타원·쌍곡선의 접선 공식을 조건에 맞춰 구분하세요. 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우를 나눠 정리한 뒤 거리·넓이로 연결하세요(5·6·7·16번 대비).
4. 최대·최소의 대상이 무엇인지 먼저 말하는 연습을 하세요. 고정된 밑변의 높이, 접선의 절편, 부등식의 등호를 도형과 연결하세요(8·9번 대비).
5. 외부점에서 그은 접선은 수직인 경우를 별도로 점검하세요. 벡터의 크기는 도형의 길이와 직각 관계로 바꾸고, 초점 거리는 타원의 정의로 연결하세요(10·12·17·18번 대비).
6. 판별식 조건을 자취와 범위까지 유지하세요. 교점의 중점은 근과 계수의 관계로 표현하고, 마지막에 매개변수 조건을 좌표의 범위로 바꾸세요(14·20번 대비).