상명고등학교
2026년 2학년 2학기 중간고사

상명고 2학년 2학기 중간 기하는 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이 시험은 이차곡선, 공간도형, 공간좌표에서 출제됐으며, 포물선·타원·쌍곡선의 성질과 공간에서의 거리·넓이를 다룹니다. 객관식으로 시작해 서술·단답형으로 마무리하는 구성입니다.

초반에는 두 점 사이의 거리, 포물선의 정의, 접점이 주어진 접선처럼 출발점이 비교적 분명합니다. 반면 후반에는 접선에서 접점을 역으로 찾거나 도형의 조건으로 가능한 배치를 가려야 합니다. 공식을 외우는 데서 나아가 어떤 조건을 먼저 써야 할지 판단해야 하는 시험입니다.

마지막 18번은 타원의 접선에서 얻은 기울기를 쌍곡선의 조건으로 옮기고 넓이와 연결합니다. 따라서 객관식을 모두 끝낸 뒤 처음 읽기보다, 시험지를 훑을 때 필요한 풀이 단계와 답안 분량을 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반 기본 계산과 후반 조건 연결

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간도 조건 확인을 생략해서는 안 됩니다. 4번에서는 평행이동량의 양수 조건으로 초점의 후보를 걸러야 하고, 5번에서는 점근선의 수직 조건과 초점 사이의 거리를 구분해야 합니다. 익숙한 공식일수록 요구하는 대상을 마지막에 다시 확인하세요.

보통 구간은 개념을 연결하는 연습에 적합합니다. 8번은 구의 방정식을 정리한 뒤 단면의 반지름을 찾아야 하고, 10번은 정사영 전후의 넓이로 두 평면 사이의 각을 해석합니다. 12번도 접선만 구해서 끝나는 문제가 아니라 준선과 이루는 도형까지 읽어야 합니다.

11번에서 곡선의 정의를 결합하는 어려움 문항이 나온 뒤 12번에서 흐름이 잠시 바뀝니다. 이후에는 이차곡선과 공간 문제가 번갈아 등장하므로, 막힌 문항의 계산을 붙잡기보다 다른 단원의 접근 가능한 문항을 확인하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 이차곡선 중심, 공간 해석도 함께

이차곡선은 기본 방정식부터 정의의 활용, 접선과 넓이의 결합까지 폭넓게 나왔습니다. 2번에서 초점과 준선까지의 거리를 쓰는 방법이 16번에서는 교점의 좌표 관계로 확장됩니다. 3번의 접점 공식은 13·18번에서 조건을 거꾸로 읽는 도구가 됩니다. 기본형과 응용형을 이어서 복습하는 편이 효과적입니다.

공간도형에서는 수직 관계를 정확히 세우는 능력이 중요합니다. 6번의 위치 관계 판단, 7번의 삼수선의 정리, 10번의 정사영을 각각 익힌 뒤 15·17번으로 넘어가세요. 그림에서 직각처럼 보이는 것과 조건으로 증명되는 직각을 구분해야 합니다.

공간좌표는 거리 공식만으로 대비하기 어렵습니다. 14번은 축에 평행한 직선의 좌표 형태와 무게중심, 삼각형의 넓이를 함께 사용합니다. 좌표 계산을 시작하기 전에 밑변과 높이가 공간에서 어디에 놓이는지 그려 보는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 공간 배치나 곡선의 성질로 바꾸는 단계가 많아 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 그림과 식 사이의 연결을 설명해야 합니다. 사용한 조건 옆에 그 조건으로 결정한 내용을 짧게 적는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본 문항을 안정적으로 처리하고, 6번의 명제 판단에 오래 머무르지 않도록 하세요. 참이라고 생각하는 이유나 반례가 떠오르지 않으면 표시한 뒤 돌아오는 방법이 좋습니다. 검산 때는 전개 전체보다 거리의 부호와 초점의 위치처럼 오류가 생기기 쉬운 부분을 우선 확인하세요.

11번에서 막히더라도 12번은 별도로 읽어 볼 필요가 있습니다. 후반에는 어려움 문항이 이어지므로 모든 문항을 순서대로 완성하려는 계획은 시간 부담을 키울 수 있습니다. 18번의 접선과 기울기 관계처럼 바로 시작할 수 있는 단계부터 기록하고, 공간 그림을 새로 그려야 하는 문항에 쓸 시간을 남겨 두세요.

조건 확인은 별도의 마지막 절차로 두세요. 9번은 퇴화와 경계, 14번은 좌표의 대소 관계, 15번은 예각 여부, 16번은 사분면 조건을 다시 읽어야 합니다. 17번에서는 접기 전후에 유지되는 길이와 새로 생기는 수직 관계를 구분하고, 18번에서는 기울기 식을 쓸 수 없는 접선이 조건에 맞는지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 방정식과 거리부터 점검하세요. 공간의 거리, 포물선의 초점·준선, 평행이동과 점근선을 짧은 풀이로 정리합니다(1·2·4·5번 대비).
2. 접선 공식을 정방향과 역방향으로 연습하세요. 접점에서 접선을 구한 뒤, 주어진 접선에서 접점을 찾는 문제로 이어 갑니다(3·12·13번 대비).
3. 이차곡선의 정의를 거리 관계로 표현하세요. 타원과 쌍곡선의 거리 합·차, 포물선의 준선까지 거리를 좌표 관계로 바꾸는 연습을 합니다(11·16번 대비).
4. 공간의 수직 관계를 말로 설명하세요. 위치 관계의 반례와 삼수선의 정리를 확인한 뒤, 정사영의 꼭짓점 대응을 표시합니다(6·7·10번 대비).
5. 좌표와 도형 조건을 함께 쓰세요. 구의 단면에서는 중심과 평면 사이 거리, 무게중심 문제에서는 축과 평행한 변의 형태를 먼저 정합니다(8·14번 대비).
6. 경우 구분과 서술을 마무리하세요. 정사영의 직각 위치, 접은 도형의 수선, 접선 조건의 연결을 그림과 근거 문장으로 정리한 뒤 시간을 재고 다시 풉니다(15·17·18번 대비).