잠신고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

잠신고 2학년 2학기 기말 기하는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 공간도형과 공간좌표를 다루며, 직선·평면의 위치 관계부터 삼수선의 정리, 이면각, 정사영, 구의 방정식까지 연결됩니다. 객관식에서는 개념 판정과 거리 계산을 함께 확인하고, 서술·단답형에서는 좌표 조건과 정사영 과정을 정리해야 합니다.

공간도형의 비중이 더 크지만 그림을 잘 보는 것만으로 충분하지는 않습니다. 수선의 발을 정하고 교선에 수직인 선분을 찾아야 이면각을 평면각으로 바꿀 수 있습니다. 정사영 역시 공식에 각을 바로 넣기 전에 원래 도형과 투영된 도형의 대응을 확인하는 과정이 필요합니다.

공간좌표에서는 기본 공식 적용 문제와 거리의 최대·최소 문제가 함께 나옵니다. 좌표 계산이 길어 보일 때 대칭이동이나 정사영을 사용하면 풀이가 정리되는 구조입니다. 따라서 공식 암기와 함께, 어떤 도형 관계를 좌표식으로 바꾸는지 설명하는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 중간의 고비와 후반의 어려움 문항

위 난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1번은 평면의 결정 조건, 13번은 대칭이동과 수선의 발, 14번은 정사영의 길이를 확인합니다. 이 문항들에서는 복잡한 보조선보다 정의와 좌표 처리의 정확성이 우선입니다.

5번에서 반구 단면의 정사영이 나오고, 10·11번에서는 수직 관계를 연결해야 합니다. 초반부터 난도가 일정하게 상승하는 배열은 아니므로, 앞에서 막혔다고 뒤 문항까지 어렵다고 판단할 필요는 없습니다. 12~18번에서는 좌표와 분점 공식을 적용할 수 있는 문제를 찾아 풀이 흐름을 회복하세요.

19~21번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 대칭이동을 이용한 최솟값, 좌표로 주어진 평면의 이면각, 무게중심과 넓이를 결합한 조건 해석이 이어집니다. 서술형 22번은 보통, 23번은 어려움으로 분류되므로 객관식 끝부분에만 시간을 소진하지 않는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 공간도형 중심, 공간좌표와의 연결

공간도형은 14문항으로 가장 많습니다. 위치 관계를 판정하는 1~3번을 바탕으로, 4·10·20번의 이면각과 5·8·9·23번의 정사영을 연결해서 공부할 수 있습니다. 특히 10·11번에서는 삼수선의 정리가 계산에 들어가기 위한 근거가 됩니다.

공간좌표는 9문항이며 내분·외분, 거리, 대칭이동, 무게중심을 다룹니다. 16·18번처럼 좌표축이나 좌표평면 위라는 조건을 분점 공식에 대입하는 문제와, 15·19번처럼 거리의 극값을 도형으로 해석하는 문제를 구분해 연습하세요.

단원 이름과 풀이 도구가 항상 일치하지는 않습니다. 공간도형으로 분류된 14·20번도 좌표를 읽어 정사영과 각을 구합니다. 반대로 공간좌표의 15·19·21번은 거리식 전개보다 수선·대칭·높이의 의미를 먼저 파악하면 접근이 명확해집니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 개념과 풀이 출발점, 확인할 조건을 정리했습니다. 난이도 표시는 자동 분류 기준입니다.

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 먼저 확인해야 합니다

작년인 2022학년도 시험은 수학II이고, 올해는 기하입니다. 공통으로 비교할 출제 단원이 없으므로 단원 비중의 증감을 직접 해석할 수 없습니다. 가장 많은 단원도 도함수의활용에서 공간도형으로 다르며, 과목의 특성을 먼저 고려해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 14문항에서 올해 8문항으로 줄고, 서술·단답은 4문항에서 2문항으로 줄었습니다. 다만 과목이 달라 이 수치만으로 올해 시험이 더 쉬웠다고 단정할 수는 없습니다. 작년에는 21~23번이 모두 어려움이었고, 올해는 22번이 보통이며 23번이 어려움입니다.

올해도 19~21번에 어려움 문항이 이어지므로 마지막 서술형만 따로 준비해서는 충분하지 않습니다. 다음 시험을 준비할 때는 이번 기하의 수직 관계와 정사영을 중심으로 학습하고, 좌표의 거리 조건을 도형으로 해석하는 훈련을 함께 진행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 분석상 고난도 문항으로 살펴볼 만합니다. 공통점은 계산 전에 보조선이나 좌표 관계를 구성해야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때도 식만 다시 쓰기보다 그 선분이 왜 수직인지, 그 길이가 왜 높이인지 설명하는 데 집중하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 위치 관계와 좌표의 기본 처리가 가능한 문항을 정확하게 해결하세요. 5번이나 10·11번에서 단면이 보이지 않으면 표시하고 넘어가 뒤의 좌표 문제를 먼저 살펴보는 방법이 있습니다. 번호 순서에 매달리기보다 풀이 출발점이 분명한 문항을 확보하는 운영입니다.

19~21번은 서로 다른 아이디어를 요구하므로 한 문제에 오래 머무르면 서술형 작성 시간이 부족해질 수 있습니다. 22번의 거리 조건을 세우고 후보를 검토할 시간, 23번의 정사영 도형과 단계별 관계를 기록할 시간을 별도로 남기세요. 연습에서는 계산 시간과 그림을 해석한 시간을 구분해 돌아보면 개선할 부분이 보입니다.

조건 검토에서는 9번의 광선과 평면 사이 각, 16·18번의 외분비와 부호, 19번의 등호 성립 위치를 확인하세요. 20번은 좌표의 대소 조건이 높이 차의 부호를 정하고, 21번은 길이의 절댓값 때문에 경우가 나뉩니다. 22번은 구한 좌표가 모든 거리 조건을 만족하는지 마지막에 대입해 검산하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 위치 관계부터 정리하세요. 같은 평면 위에 놓이는 조건과 꼬인 위치의 반례를 직접 그려 보세요(1·2·3번 대비).
2. 좌표의 기본 처리를 익히세요. 대칭이동·수선의 발·내분과 외분을 구분하고 축 또는 평면 위라는 조건을 옮기세요(12·13·14·16·18번 대비).
3. 삼수선의 정리와 이면각을 연결하세요. 교선에 수직인 단면을 먼저 그리고 직각삼각형의 길이를 구하세요(4·6·7·10·11·20번 대비).
4. 정사영은 대응 도형과 각부터 확인하세요. 길이 투영과 넓이 투영을 구별하고, 어느 넓이에서 출발하는지 적으세요(5·8·9·23번 대비).
5. 거리의 극값을 도형으로 설명하세요. 정사영과 대칭이동으로 계산을 줄인 뒤 등호가 성립하는 위치를 확인하세요(15·17·19번 대비).
6. 조건을 결합하는 답안을 연습하세요. 무게중심·넓이·거리 조건을 차례로 식으로 옮기고, 경우와 후보를 빠짐없이 검토하세요(21·22·23번 대비).