상명고등학교
2026년 2학년 1학기 중간고사

상명고 2학년 1학기 중간 대수는 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 지수와 로그의 계산, 지수함수와 로그함수, 삼각함수와 그 그래프입니다. 거듭제곱근과 상용로그표처럼 정의를 확인하는 내용부터 그래프의 교점, 부채꼴의 넓이, 매개변수가 포함된 최대·최소까지 다룹니다.

초반에는 같은 밑의 지수 계산, 로그의 성질, 지수함수의 증가성 등 출발 개념을 직접 적용합니다. 뒤로 가면 같은 개념이 다른 표현으로 등장합니다. 예를 들어 지수함수는 도형의 넓이와 연결되고, 삼각함수는 절댓값 그래프나 제한된 구간의 이차함수로 바뀝니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 표현을 바꾸는 연습이 필요합니다.

서술·단답형도 난이도가 일정하지 않습니다. 로그의 성질을 설명하는 18번, 사분면과 삼각함수의 관계를 확인하는 19번, 로그부등식의 20번 뒤에 도형 해석과 경우 분류가 필요한 21·22번이 이어집니다. 시험 전체를 훑어 접근 가능한 문항부터 처리하는 운영이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 마지막 서술형에 집중

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 묶인 1~7번은 지수·로그 계산, 끝점에서의 함수값 비교, 호의 길이와 삼각함수 관계식 등 기본기를 점검합니다. 다만 7번의 중첩된 근호처럼 표기가 복잡한 경우에는 서둘러 암산하기보다 분수 지수로 바꾸는 중간 줄을 남기는 편이 안전합니다.

보통 구간인 8~10번에서는 삼각함수의 값의 범위와 각의 위치를 함께 확인합니다. 인수분해로 얻은 후보가 실제 삼각함수값인지, 동경 조건으로 찾은 각이 부호 조건까지 만족하는지 걸러야 합니다. 18·20번 역시 계산 자체보다 변형의 근거와 정의 조건을 빠뜨리지 않는 것이 중요합니다.

어려움 구간인 11~17번은 지수의 공통값 치환, 거듭제곱근의 정수 조건, 도형의 넓이, 그래프의 대칭과 교점 등 풀이의 출발점을 바꾸어야 하는 문항이 이어집니다. 마지막 21·22번까지 생각하면 이 구간에서 한 문제에 머무르는 시간을 조절해야 합니다.

출제 단원 — 삼각함수의 기본 관계에서 그래프 활용까지

가장 많은 단원은 삼각함수입니다. 호도법과 부채꼴, 삼각함수 사이의 관계, 동경과 사분면, 여러 가지 각의 변환을 고르게 확인합니다. 5번의 호의 길이를 구하는 관계와 21번의 도형 넓이 해석은 같은 부채꼴 개념을 공유하지만, 후자는 중심각을 도형에서 찾아내는 과정이 추가됩니다.

삼각함수그래프는 8번의 삼각방정식에서 시작해 16번의 대칭, 17번의 절댓값과 교점, 22번의 최대·최소로 이어집니다. 이 단원을 준비할 때는 그래프를 그리는 연습과 함께 치환한 변수의 범위를 적는 습관을 들이세요. 지수·로그 쪽에서는 11·12·15번처럼 조건을 다른 수학적 관계로 바꾸어 후보를 추리는 유형을 보완해야 합니다.

지수함수와 로그함수는 문항 수가 상대적으로 적어도 13·14번에서 도형과 결합합니다. 단원별 문제를 따로 풀고 끝내기보다 그래프 위 점의 좌표를 길이와 넓이로 옮기는 연습을 추가하세요. 분류표에서 한 단원으로 표시된 문항도 실제 풀이에는 여러 개념이 함께 쓰입니다.

문항별 정리

아래 난이도는 자동 분류 기준이며, 각 문항은 핵심 접근과 점검할 조건을 중심으로 요약했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 풀이 구조를 함께 고려해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 도중 대상이 바뀐다는 것입니다. 이동한 대칭축, 치환된 구간, 새롭게 정의된 함수를 짧게 적어 두면 이전 조건을 무심코 적용하는 오류를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~10번에서 기본 계산과 조건 확인을 마친 뒤 서술·단답형의 분량을 살펴보세요. 객관식 11~17번이 연속해서 어려움으로 분류돼 있으므로, 풀이 방향이 잡히지 않으면 표시하고 18~20번으로 이동하는 운영을 연습할 만합니다. 실제 제한 시간 안에서 검산할 여유와 서술할 시간을 따로 남겨 두세요.

로그 문항은 식을 변형하기 전에 밑과 진수의 조건부터 쓰세요. 특히 15번에서는 원래 각각의 로그가 정의돼야 하며, 20번에서는 밑에 따른 부등호 방향을 확인해야 합니다. 16번도 진수를 같게 놓은 뒤 함수값의 범위와 양수 조건을 다시 적용해야 하므로, 방정식 계산만으로 종료하지 마세요.

삼각함수 문항은 각의 범위와 값의 범위를 구별해서 확인하세요. 8번에서는 삼각함수값의 후보를 걸러야 하고, 17번에서는 구간 끝점의 포함 여부가 교점 개수에 영향을 줍니다. 21번은 그림에 중심과 수선의 발을 표시하고, 22번은 경우를 나눈 경계에서 식과 조건이 맞는지 검산하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수·로그 계산을 먼저 정리하세요. 근호를 분수 지수로 바꾸고 진수를 곱과 몫으로 분해하는 중간 과정을 직접 적습니다(1·2·4·7·18번 대비).
2. 사분면과 각 변환을 연결하세요. 동경의 회전 조건으로 후보를 만든 뒤 삼각함수의 부호로 걸러내는 연습을 합니다(6·9·10·19번 대비).
3. 정의 조건과 정수 조건을 따로 기록하세요. 거듭제곱근은 소인수의 지수로, 로그의 자연수 조건은 거듭제곱 관계로 바꾸어 경우를 정리합니다(11·12·15·20번 대비).
4. 함수 그래프를 도형으로 읽는 연습을 하세요. 교점의 좌표에서 길이를 만들고, 대칭축과 넓이의 밑변·높이를 그림에 표시합니다(3·13·14번 대비).
5. 삼각방정식을 치환해 풀 때 범위를 함께 옮기세요. 허용되지 않는 함수값과 구간 밖의 근을 제외하고 절댓값의 경우를 모두 확인합니다(8·16·17번 대비).
6. 서술형은 풀이의 구조를 먼저 작성하세요. 부채꼴의 각을 찾는 근거와 축 위치에 따른 경우 분류를 적은 뒤 계산을 채워 넣습니다(5·21·22번 대비).