상명고등학교
2026년 3학년 1학기 기말고사

상명고 3학년 1학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 시험의 등록 단원은 여러가지미분법, 삼각함수의미분, 도함수의활용, 여러가지적분법, 정적분의활용입니다. 객관식은 1~17번이고 서술·단답형은 18~21번입니다.

초반에는 로그의 극한, 몫의 미분, 접선, 기본 정적분을 확인하지만, 중반부터는 같은 개념을 다른 형태로 해석해야 합니다. 접선을 구하는 계산에서 접선의 존재 여부 판단으로, 정적분 계산에서 역함수와 도형의 넓이 해석으로 사고가 확장됩니다.

서술형에서는 기본 적분법을 정리하는 18번에 이어 근의 유일성, 도형에서 만든 합의 극한, 접선으로 만든 넓이의 최적화가 나옵니다. 계산 결과에 도달하는 것과 함께 왜 그 조건이 충분한지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 중반부터 이어지는 어려움

난이도와 비중은 자동 분류 기준이며 비중은 반올림한 값입니다. 1~6번은 모두 쉬움으로 분류되어 있습니다. 이 구간에서는 계산의 정확성을 확보하면서 접점 설정, 정적분의 부호, 삼각함수 항등식처럼 뒤 문항에도 쓰이는 기본 도구를 빠르게 적용해야 합니다.

7번부터 어려움이 등장하고 8·11·12번의 보통 문항이 그 사이에 놓여 있습니다. 번호가 뒤라는 이유로 무조건 더 어렵다고 판단하기보다는 풀이의 출발점이 보이는지 살펴보세요. 특히 13~16번은 그래프, 운동, 역함수 적분, 합성 구조의 적분으로 해석 대상이 계속 바뀝니다.

17번과 18번은 보통으로 분류되지만 각각 단면 넓이 설정과 여러 적분법의 구별이 필요합니다. 서술형 19~21번은 모두 어려움이므로 객관식에 시간을 소진하면 논증과 식 정리에 쓸 여유가 부족해집니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 여러 가지 적분법이 중심

도함수의활용은 접선뿐 아니라 교점 개수, 속력 조건, 방정식의 근, 넓이의 최댓값까지 포함합니다. 3번에서 접점을 문자로 두는 기본 절차를 익힌 뒤 10번에서는 접점 방정식의 실근 존재 여부로 생각을 넓혀야 합니다. 13·19번에서는 도함수가 그래프와 근의 개수를 판단하는 근거가 됩니다.

여러가지적분법은 부분적분과 치환적분을 따로 외우는 데서 멈추기 어렵습니다. 15번은 역함수의 적분을 원래 함수로 바꾸고, 16번은 먼저 얻은 함수를 다음 치환의 대상으로 읽어야 합니다. 9번처럼 적분으로 주어진 관계를 미분해 조건을 얻는 유형도 함께 대비하세요.

단원 이름과 실제 풀이의 중심은 구분해서 읽어야 합니다. 여러가지미분법으로 등록된 1번과 7번은 각각 로그의 극한과 삼각함수 극한을 다루고, 삼각함수의미분으로 등록된 6번은 항등식과 덧셈정리의 활용이 핵심입니다. 정적분의활용에서도 넓이, 곡선 길이, 단면을 이용한 부피, 급수의 극한을 구별해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 풀이 단계의 연결과 조건 판단을 살펴 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 계산하는 능력에 더해 그래프의 전체 모습이나 결론의 성립 범위를 설명하는 능력이 필요합니다. 중간 결론이 다음 단계에서 어떻게 쓰이는지 짧은 문장으로 이어 쓰는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

시험 시간 정보가 없으므로 고정된 분 단위 계획보다는 문항 역할에 따라 순서를 정하세요. 1~6번에서 기본 계산을 마치고, 중반에 풀이 방향이 보이지 않는 문항은 표시한 뒤 8·11·12·17번과 서술형 18번을 살펴보는 방식이 좋습니다. 어려운 문항의 식 변형을 반복하느라 풀 수 있는 문항을 남기지 않는 것이 우선입니다.

서술형 19~21번을 검토할 여유를 따로 남기세요. 20번은 직선, 교점, 넓이, 정적분으로 전환하는 각 단계를 구분하고, 21번은 그래프 분석과 넓이 최적화를 나누어 적으면 검산 지점이 분명해집니다. 완성하지 못한 문항도 이미 확인한 관계와 아직 필요한 조건을 구분해 두면 다시 접근하기 수월합니다.

검산에서는 10번의 판별식 경계, 13번의 수평선 높이, 14번의 시간 구간에 따른 부호, 15번의 치환 후 적분 경계를 우선 확인하세요. 서술형에서는 18번의 로그 절댓값과 적분상수, 19번의 추가 근 배제, 20번의 분할 폭, 21번의 접점 범위를 살펴보세요. 계산이 맞더라도 조건 검토가 빠지면 결론의 근거가 부족해질 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분과 극한을 먼저 정리하세요. 로그의 성질, 몫의 미분, 매개변수 미분에서 계산과 대입 순서를 일정하게 연습합니다(1·2·8번 대비).
2. 부분적분과 치환적분의 선택 기준을 익히세요. 적분 전에 미분할 부분과 치환할 부분을 말로 설명하고, 정적분과 부정적분의 마무리 차이도 확인합니다(4·11·18번 대비).
3. 접점을 문자로 둔 접선식을 반복해서 세우세요. 외부 점 통과 조건을 접점의 방정식으로 바꾸고 실근의 존재 여부까지 판단합니다(3·10번 대비).
4. 그래프와 조건의 유효성을 함께 점검하세요. 절댓값 그래프의 교점 수를 구간별로 세고, 운동 문제에서는 얻은 후보를 시간 범위에 대입해 검토합니다(13·14번 대비).
5. 적분의 표현을 바꾸는 연습을 하세요. 적분 항등식의 미분, 역함수의 치환, 함수 복원 뒤의 재치환을 연결합니다(9·15·16번 대비).
6. 도형을 적분식으로 옮기는 과정을 써 보세요. 넓이, 곡선 길이, 단면 넓이, 합의 극한에서 적분할 대상이 무엇인지 구별합니다(5·7·12·17·20번 대비).
7. 마지막으로 서술형 논증을 완성하세요. 근의 유일성은 충분성과 나머지 경우를 함께 설명하고, 넓이 최대는 정의역과 증감으로 확인한 뒤 이 시험지를 다시 풀어보세요(19·21번 대비).