상명고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

상명고 2학년 1학기 기말 대수는 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 삼각함수의 관계와 그래프, 사인법칙·코사인법칙의 활용, 등차·등비수열, 수열의 합, 수학적귀납법과 수열의 귀납적 정의입니다. 객관식과 서술·단답형 모두에서 수열과 삼각함수 활용을 다룹니다.

초반에는 시그마의 성질, 일반항, 외접원과 사인법칙처럼 출발 공식이 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 이후에는 합 조건에서 공비를 찾아내거나 도형의 반복을 등비수열로 해석하는 문제가 나타납니다. 공식 암기에 더해 주어진 조건을 익숙한 형태로 변환하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 귀납적으로 정의된 수열의 항을 구하는 18번에서 시작해 합으로부터 일반항을 구하는 19번, 복합 조건을 연결하는 20~22번으로 이어집니다. 뒤쪽이라는 이유로 모두 미루기보다 접근 가능한 문항을 먼저 찾아 풀이를 완성하는 운영이 적합합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 후반에 모인 어려움

난이도는 자동 분류 기준이며, 비중은 전체 문항 수에 대한 값입니다. 1~6번은 기본 계산과 공식 적용을 점검하는 구간입니다. 여기서 계산을 서두르다가 항 번호나 높이를 잘못 읽으면 뒤쪽 복합 문제에 쓸 시간을 다시 소모할 수 있으므로, 식을 짧게 쓰되 적용 대상을 확인하세요.

7·9·10번은 삼각부등식, 삼각함수 관계식, 귀납법 증명 과정으로 주제가 바뀝니다. 계산량만 살피기보다 정의역과 부호, 다음 단계에서 추가되는 항을 읽어야 합니다. 11번에서 어려움 문항이 등장한 뒤 12번을 거쳐 13~17번에 어려움 문항이 이어집니다.

서술·단답형에서는 18번이 쉬움, 19번이 보통, 20~22번이 어려움으로 분류됐습니다. 후반 객관식에서 막혔을 때 서술·단답형의 기본 문항까지 함께 놓치지 않도록 하세요. 실제 체감 난도는 도형 해석과 수열 식 변형 중 어느 부분을 충분히 연습했는지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 수열의합·등차등비수열이 중심

수열의합에서는 시그마 계산에서 출발해 지수가 이동한 합, 부분분수로 소거되는 합, 부분합에서 일반항을 복원하는 문제까지 폭이 넓습니다. 같은 합 문제라도 곧바로 공식을 대입할지, 항을 분해할지, 이웃한 부분합의 차를 이용할지 먼저 구분해야 합니다.

등차등비수열은 일반항의 기본형과 조건 해석형이 함께 있습니다. 13번은 반복되는 도형의 닮음을 넓이의 공비로 바꾸고, 21번은 등차수열의 합에 자연수 조건을 결합합니다. 수열 공식만 따로 연습하면 도형이나 정수 조건이 붙었을 때 시작점을 찾기 어려울 수 있습니다.

삼각함수활용에서는 외접원, 넓이, 원에 내접하는 도형, 내부의 점이 만드는 각 조건을 다룹니다. 수학적귀납법 분류에는 증명 과정뿐 아니라 귀납적 정의와 항·부분합의 관계도 포함되어 있습니다. 단원명만 보고 증명 문제만 준비하지 말고 실제 문항에서 요구하는 식의 연결을 함께 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 조건을 사용하는 순서가 중요하다는 공통점이 있습니다. 각 관계, 부분합의 차, 가운데 항이라는 출발점을 정한 뒤 계산을 진행하고, 마지막에는 후보가 원래 조건에 맞는지 확인하세요. 위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 검토해 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번과 8번처럼 적용할 관계가 분명한 문항을 정확하게 마무리하세요. 7·9·10번은 그래프, 부호, 귀납 단계의 읽기를 확인하며 진행합니다. 11번 이후에 식을 세우지 못하고 멈춘다면 필요한 조건만 표시하고 다음 문항을 살펴보세요. 시험 시간이 자료에 없으므로 분 단위의 고정 계획보다는 직접 시간을 재며 이동 기준을 정하는 편이 좋습니다.

객관식 후반을 풀기 전에 서술·단답형의 구성도 확인해 두세요. 18번의 순차 대입과 19번의 부분합 차는 후반 복합 문제와 접근 방식이 다릅니다. 20~22번에는 법칙을 적용한 대상, 자연수 후보를 제외한 근거, 소거 후 남는 항을 적을 시간을 남기고, 복습할 때도 계산 결과만 쓰지 말고 전환 과정을 문장으로 정리하세요.

검토 순서는 조건의 누락을 중심으로 잡으세요. 3번의 음수 경계, 7번의 해 구간과 끝점, 8번의 양수 조건, 14번의 길이 대소, 19번의 첫째항 분리, 21번의 자연수 제약을 확인할 필요가 있습니다. 15·22번의 소거합은 전개한 처음과 끝을 다시 적어 남아야 할 항이 빠지지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항과 시그마 기본 계산부터 다지세요. 항 번호의 차이, 상수항의 합, 처음 음수가 되는 경계를 설명하며 풉니다(1·2·3·5·8번 대비).
2. 삼각함수의 각 변환과 부등식 그래프를 정리하세요. 부호를 먼저 판단하고 정의역 안에서 해 구간과 끝점을 표시합니다(7·9번 대비).
3. 합과 항의 관계를 양방향으로 연습하세요. 합에서 일반항을 구할 때 첫째항을 따로 확인하고, 항 번호가 이동한 합은 양 끝을 직접 써 봅니다(11·12·17·19번 대비).
4. 부분분수와 유리화로 소거되는 합을 묶어 연습하세요. 분해한 뒤 처음과 마지막 항을 펼쳐 소거의 간격을 확인합니다(15·22번 대비).
5. 도형에서 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 연결하세요. 외접원, 높이, 공통 각을 그림에 표시하고 길이비와 넓이비를 구별합니다(4·6·13·14·16·20번 대비).
6. 귀납법의 증명 단계와 귀납적 정의를 구분해 정리하세요. 다음 단계에 추가할 항을 찾는 연습과 점화식에 차례로 대입하는 연습을 함께 합니다(10·18번 대비).
7. 자연수 조건이 붙은 수열 문항은 후보를 제한하는 근거까지 쓰세요. 가운데 항으로 관계를 정리한 뒤 약수 후보와 공차의 조건을 확인하는 답안을 작성합니다(21번 대비).