하나고등학교
2025년 1학년 2학기 중간고사

하나고 1학년 2학기 중간 대수는 어떤 시험인가

하나고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 단원은 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 등차등비수열, 수열의합입니다. 지수법칙과 로그의 정의부터 함수의 교점, 수열의 합과 일반항의 관계까지 함께 준비해야 합니다.

앞부분은 기본 법칙의 정확성을 확인하고, 뒤로 갈수록 그 법칙을 적용할 조건을 스스로 정리해야 합니다. 로그의 정수부분을 구간으로 바꾸거나 지수식을 양수인 새 변수로 치환하는 과정이 대표적입니다. 식을 길게 전개하기보다 정의역과 치역, 정수 조건을 먼저 적는 방식이 효과적입니다.

서술·단답형도 모두 같은 부담을 갖지는 않습니다. 15·16번은 합의 차와 생활 상황의 수열화를 활용하고, 17번부터는 대칭 관계나 존재 조건을 해석하는 과정이 중요해집니다. 개념을 알고 있다는 데서 멈추지 말고 어떤 조건 때문에 그 개념을 쓰는지 문장으로 설명하는 연습을 하세요.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 구간은 1~4번입니다. 지수법칙, 밑의 변환, 합의 분리, 로그의 정의 조건을 차례로 확인합니다. 풀이가 짧아도 음수의 홀수 거듭제곱근이나 밑에서 제외되는 값을 놓치면 실수가 생기므로, 빠르게 푸는 것과 조건을 생략하는 것을 구별해야 합니다.

보통 문항에서는 식의 구조를 고르는 능력이 필요합니다. 5번은 역수 관계와 인수분해, 7번은 그래프 변환, 10번은 합의 정리를 이차함수의 축과 연결합니다. 8번에서 시간이 걸리더라도 뒤의 9·10번과 서술·단답형 15·16번을 먼저 확인할 여지가 있습니다.

11~14번과 17~20번은 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 이 구간에서는 명제의 참거짓, 교점의 존재, 정수 범위와 경계 포함 여부를 함께 다룹니다. 자동 분류 결과가 응시자 개인의 체감과 일치하는 것은 아니므로, 복습할 때는 계산 실수와 접근법 선택의 어려움을 구분해 기록하세요.

출제 단원 — 로그의 구간 해석과 함수의 대칭

로그는 기본 계산과 정의 조건부터 정수부분·소수부분의 해석까지 이어집니다. 6번의 자릿수와 최고자리 숫자 판단을 바탕으로, 8번에서는 서로 다른 밑의 정수부분을 비교하고 20번에서는 소수부분 조건까지 연결합니다. 정수부분을 단순히 소수점을 지우는 것으로 이해하지 말고, 해당 실수가 속하는 구간으로 표현해야 합니다.

지수함수와 로그함수에서는 그래프의 형태를 읽는 연습이 중요합니다. 7번의 평행이동·대칭이동이 12·17·18번의 역함수와 교점 해석으로 이어집니다. 특히 로그함수에 속한 12·17·18번은 모두 자동 분류 기준 어려움이므로, 식 변형만 반복하기보다 대칭축과 점근선을 함께 그려 보세요.

수열에서는 합의 공식 자체와 합에서 일반항을 복원하는 과정을 구분해야 합니다. 9번은 등비수열의 부분합 비율, 15번은 이웃한 부분합의 차를 활용합니다. 19번은 첫째항을 따로 계산한 뒤 자연수 첨자에서의 최솟값을 살피므로, 공식 사용 범위와 첨자의 조건을 쓰는 습관이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 해석하는 단계가 이어진다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 변수를 바꾸어도 원래 범위를 보존해야 합니다. 풀이를 시작할 때 허용 범위를 적고, 끝에서는 경계와 원래 조건을 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확히 처리하고, 5~10번에서는 접근법이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 8번의 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 9·10번으로 이동하는 연습이 좋습니다. 객관식 후반을 모두 끝내야 서술·단답형을 볼 수 있다고 생각하기보다, 전체를 훑고 15·16번처럼 출발점이 명확한 문항도 함께 확인하세요.

17·18번은 계산 전에 간단한 그래프를 그려 두는 편이 좋습니다. 17번에서는 함께 이동한 대칭축과 직선의 위치를, 18번에서는 증가·감소 방향과 점근선의 높이를 표시하세요. 19·20번은 첫째항의 예외와 구간 분류를 적는 칸을 미리 마련하면 긴 식을 다시 읽는 시간을 줄일 수 있습니다. 연습에서는 식을 세우는 시간과 계산하는 시간을 나누어 점검하세요.

마지막 검토는 경계 조건에 집중하세요. 4번은 밑과 진수의 조건을 동시에 적용했는지, 8번은 정수부분의 구간에서 위쪽 끝을 제외했는지 확인해야 합니다. 13번은 치환 변수의 범위와 사분면 조건을, 14번은 근호 안이 영인 경우를 다시 보세요. 19번에서는 자연수 첨자와 첫째항을, 20번에서는 음수의 정수부분과 소수부분의 범위를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수법칙과 거듭제곱근의 정의부터 복습하세요. 식의 양수 조건과 지수의 홀짝에 따른 실수인 근의 개수를 구별해 설명하세요(1·5·14번 대비).
2. 로그의 밑의 변환과 정의 조건을 함께 연습하세요. 계산을 시작하기 전에 밑과 진수의 허용 범위를 적어 보세요(2·4번 대비).
3. 로그의 정수부분을 부등식 구간으로 바꾸세요. 자릿수 판단에서 출발해 서로 다른 밑의 비교와 소수부분 조건을 결합하는 순서로 연습하세요(6·8·20번 대비).
4. 지수함수와 로그함수의 그래프를 대칭축·점근선과 함께 그리세요. 평행이동 뒤의 대칭 관계와 절댓값에 따른 구간 분리를 점검하세요(7·12·17번 대비).
5. 함수의 증감으로 부등식과 교점 존재를 판단하세요. 치환 변수의 범위와 치역의 열린 경계를 적고 필요한 조건이 충분한지도 설명하세요(11·13·18번 대비).
6. 수열의 합에서는 합의 분리, 부분합의 비율, 이웃한 합의 차를 구별하세요. 일반항을 복원할 때 첫째항을 따로 확인하고 자연수 범위의 최솟값으로 확장하세요(3·9·10·15·16·19번 대비).