하나고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

하나고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

하나고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이 시험에서는 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식을 다룹니다. 집합의 연산과 논리적 조건에서 함수의 성질과 도형 해석까지 연결되는 구성입니다.

초반에는 같은 함수의 조건, 집합의 포함 관계, 유리함수의 점근선처럼 개념을 직접 적용하는 문제가 보입니다. 중반부터는 조건에 맞는 집합의 개수를 세거나 그래프의 이동으로 넓이를 해석해야 합니다. 공식을 기억하는 데서 나아가 어떤 표현으로 조건을 정리할지 판단하는 연습이 필요합니다.

후반에는 진리집합과 충분조건, 절댓값을 씌운 무리함수, 역함수의 그래프와 삼각형 넓이가 등장합니다. 서술·단답형이라고 모두 어렵거나 뒤 문항이라고 모두 같은 형식인 시험은 아닙니다. 문제를 먼저 훑어보고 접근 가능한 유형을 확보하면서 논리 전개에 필요한 시간을 남기세요.

난이도 분포 — 중반의 집합과 후반의 함수 조건

쉬움 문항은 2·4·5·15번입니다. 같은 함수의 정의, 점근선, 여집합과 차집합, 산술평균과 기하평균의 관계를 정확히 적용하는 구간입니다. 15번처럼 뒤에 있는 서술·단답형에도 기본형이 있으므로, 앞의 어려운 문제에서 시간이 길어지면 다음 문제를 확인할 필요가 있습니다.

보통 문항은 1·3·6·10·13·14번입니다. 명제의 부정, 열린 구간의 포함 관계, 역함수의 존재 조건, 제한된 구간에서의 최대·최소를 다룹니다. 계산에 들어가기 전 부등호의 방향이나 치환 변수의 범위를 잘못 정하면 풀이 전체가 달라질 수 있습니다.

어려움 문항은 중반과 마지막에 나뉘어 있습니다. 7·9·11번은 집합 조건을 정리하는 능력, 8·17번은 무리함수 그래프를 해석하는 능력과 관련됩니다. 이 난이도는 자동 분류 기준입니다. 개별 학생은 집합의 경우 세기와 함수의 그래프 중 어느 부분에서 시간이 더 걸리는지 따로 확인하세요.

출제 단원 — 집합을 중심으로 명제와 함수 연결

가장 많은 집합은 3·5·7·9·11번입니다. 구간으로 주어진 집합과 포함 관계를 읽는 문제에서 시작해 차집합의 원소 구성, 부분집합의 개수로 이어집니다. 특히 원소가 반드시 들어가야 하는지, 들어가면 안 되는지, 자유롭게 정할 수 있는지를 구별하는 작업이 중요합니다.

명제는 1·13·16번입니다. 전칭명제의 부정과 충분조건을 각각 존재 조건과 포함 관계로 옮기는 연습이 필요합니다. 합성함수와역함수는 6·12·18번으로, 역함수의 존재 조건부터 합성식의 실근 개수, 그래프 대칭과 도형의 넓이까지 접근 방식이 달라집니다.

무리함수는 8·14·17번에서 넓이, 직선과의 교점, 함수의 성질을 다룹니다. 유리함수의 4·10번과 함께 정의역, 시작점, 점근선, 증가·감소를 표시하는 습관을 들이세요. 절대부등식의 15번은 식의 하한을 구한 뒤 등호가 실제로 성립하는 조건까지 확인해야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 은평구의 같은 시험 조건

은평구에서 같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 학교들과 견주면, 하나고의 문항 수는 이웃 학교 평균 23.7문항보다 적습니다. 서술·단답형은 5문항으로 평균 5.5문항과 가깝고, 자동 분류 기준 어려움 비율은 44%로 평균 35%보다 높습니다. 어려움 비율 순위는 7개교 중 2위입니다.

가장 많은 단원은 학교마다 다릅니다. 선일여자고등학교·대성고등학교·진관고등학교·신도고등학교는 명제, 선정고등학교·예일여자고등학교는 합성함수와역함수이며, 하나고는 집합입니다. 하나고를 준비할 때는 명제와 함수에 더해 집합의 원소 배치와 개수 세기를 충분히 연습하세요. 문항 수가 적다는 점보다 조건을 나누어 처리하는 능력에 주목할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준의 어려움 안에서 단일 문항의 순위를 확정한 것은 아닙니다. 공통적으로 조건을 여러 단계로 나누어 확인해야 하므로, 풀이 첫 줄에 판단할 조건을 적고 마지막에 누락 여부를 확인하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 2·4·5번처럼 기본 개념으로 출발할 수 있는 문제를 확보하세요. 7~9번에서 막히더라도 10번과 뒤의 서술·단답형을 확인할 여지를 남기는 것이 좋습니다. 15번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 번호순 풀이에만 매달려 접근 기회를 놓치지 마세요.

서술·단답형인 13·14·16·18번에서는 계산 전에 논리의 출발점을 적어 보세요. 13·16번은 진리집합의 포함 방향, 14번은 치환 변수의 범위, 18번은 대칭 관계와 교점의 성질이 중요합니다. 연습 때 조건을 해석하는 시간과 계산하는 시간을 나누어 기록하면 지연되는 원인을 찾을 수 있습니다.

검토할 때는 전체 계산을 다시 하기보다 조건을 확인하세요. 3번은 열린 구간 끝점의 일치, 6번은 기울기와 치역, 12번은 서로 다른 근의 중복 여부가 핵심입니다. 14·18번은 치환과 제곱 이후 원래 조건으로 돌아가고, 15번은 등호가 실제로 성립하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 연산을 원소별 소속과 벤 다이어그램으로 바꾸세요. 포함 관계에서는 구간의 끝점도 함께 표시하세요(3·5번 대비).
2. 집합의 개수는 반드시 포함·제외할 원소와 자유로운 원소를 구별해 세세요. 양 끝 원소를 고정하는 유형도 함께 연습하세요(7·9·11번 대비).
3. 명제의 부정과 충분조건을 진리집합으로 번역하세요. 공집합, 한 원소, 구간으로 나누어 포함 방향을 확인하세요(1·13·16번 대비).
4. 함수의 기본 정의와 그래프 성질을 복습하세요. 정의역의 각 원소, 점근선, 증가·감소, 등호 조건을 계산 전에 적어 보세요(2·4·6·10·15번 대비).
5. 무리함수는 시작점과 정의역을 그린 뒤 평행이동·대칭이동·절댓값을 연결하세요. 교점 문제에서는 치환 변수의 제한을 남겨 두세요(8·14·17번 대비).
6. 합성식의 인수분해와 역함수의 대칭을 연습하세요. 서로 다른 근을 셀 때의 중복 검사와 좌표를 이용한 넓이 계산까지 마무리하세요(12·18번 대비).