하나고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

하나고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

하나고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이 시험은 순열조합과 유리함수·무리함수, 합성함수와 역함수를 중심으로 이차방정식, 함수, 집합을 함께 다룹니다. 경우의 수와 함수 그래프를 각각 공부하는 데서 나아가 조건을 읽고 풀이 틀을 선택하는 연습이 필요합니다.

경우의 수에서는 단순히 순열이나 조합 공식을 대입하는 것만으로 충분하지 않습니다. 깃발의 간격을 자리의 홀짝으로 해석하거나, 배분 조건에서 가능한 수량 구조를 먼저 정하고, 함수의 대응 관계를 짝짓기로 바꾸는 사고가 요구됩니다.

함수에서는 대칭성, 반복 합성, 치역, 교점, 점근선이 여러 형태로 등장합니다. 같은 유리함수라도 문항마다 출발점이 다릅니다. 서술·단답형도 한 가지 난도로 묶이지 않으므로, 전체를 훑고 자신이 바로 해결할 수 있는 문항부터 확보하는 전략이 유용합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 어려움 구간

초반에도 4번의 합성·역함수, 6번의 반복 합성, 7번의 깃발 배치가 어려움으로 분류됩니다. 기본 문항을 충분히 푼 뒤 고난도로 넘어가는 배열이 아니므로, 앞 번호라는 이유로 풀이를 계속 붙잡지 않는 것이 좋습니다.

9~17번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속되는 구간입니다. 배분과 좌석 배치에서 무리함수의 치역·넓이·교점으로 주제가 바뀌기 때문에, 앞 문제의 접근법을 그대로 적용하기보다 새 조건에 맞춰 풀이 기준을 다시 세워야 합니다.

서술·단답형에서는 16·17·19번이 어려움, 18·20번이 보통입니다. 특히 18번의 여사건과 20번의 반대 사건은 접근을 정하면 풀이 흐름을 잡기 좋습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인별 체감과는 다를 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 7문항으로 가장 많습니다. 합의 법칙에서 출발해 숫자 배열, 간격 조건, 분배, 좌석 배치, 약수 개수까지 형태가 다양합니다. 공식별로 문제를 외우기보다 무엇을 구별하고 어느 조건으로 경우를 나누는지 설명하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수, 무리함수에 속한 문항은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 합성 순서와 역함수의 대응 관계를 정리하는 능력에 더해, 그래프의 교점과 정의역 제한을 함께 다루는 준비가 필요합니다. 유리함수는 대칭성과 거리의 최소처럼 기하적 해석도 포함합니다.

단원명만으로 풀이 도구를 한정하지 마세요. 함수 단원의 13번은 대응 관계를 분류한 뒤 조합으로 세고, 집합의 18번도 원소의 소속 상태를 세는 문제입니다. 경우의 수를 정리하는 힘이 여러 단원에 걸쳐 쓰입니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 어려움 비중

같은 2024학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 하나고의 총 20문항은 이웃 학교 평균 21.1문항보다 적고 서술·단답형 5문항은 평균 5.2문항에 가깝습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 65%로 이웃 학교 평균 35%보다 높으며, 하나고를 포함한 11개교 중 1위입니다.

가장 많은 단원은 여러 학교에서 순열조합으로 같지만 압구정고등학교는 합성함수와역함수, 서초고등학교는 함수입니다. 하나고에서는 순열조합 외에도 무리함수와 합성함수·역함수의 문항이 모두 어려움으로 분류됩니다. 따라서 경우의 수 연습과 함께 함수의 경계·치역·합성 구조를 설명하는 연습을 병행하세요. 문항 수가 비교적 적다고 해서 한 문항에 쓸 시간이 넉넉하다고 판단하기는 어렵습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 그래프에서 유효한 부분을 구분하는 것이 출발점입니다. 분석상 고난도 문항으로 선정한 이유도 계산량보다 조건을 옮기는 단계와 경계 확인이 겹치기 때문입니다. 그림에 정의역과 끝점 표시를 한 뒤 식을 쓰는 순서로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 전체 문항을 훑고 1·2·3·5·8번처럼 접근이 분명한 문제를 우선 처리하세요. 4·6·7번에서 구조가 바로 보이지 않으면 풀이 흔적과 막힌 지점을 남기고 넘어가는 편이 좋습니다. 합성식을 계속 전개하거나 배열을 무작정 나열하는 상태라면 접근법을 바꿀 시점입니다.

9~17번을 번호순으로 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하는 계획은 피하세요. 18·20번의 여사건 풀이를 먼저 확보하고 16·17·19번에 돌아오는 순서도 연습해 볼 만합니다. 시험 시간이 명시되지 않았으므로 고정된 분량을 배정하기보다, 모의 풀이에서 문항별 소요 시간을 기록해 검토 시간을 남기는 계획을 세우세요.

검토할 때는 5번의 첫 자리 영, 7번의 간격과 자리 번호 차, 10번의 끝값 포함 여부를 확인하세요. 13번에서는 교환되는 짝의 중복, 14번에서는 구간 경계, 17번에서는 절댓값 대칭, 19번에서는 유리함수가 허용하지 않는 입력을 살피세요. 계산을 처음부터 반복하기 전에 조건 표시를 먼저 점검하면 누락을 찾기 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 조건 읽기부터 정리하세요. 판별식과 자연수 범위, 유리함수의 대칭 중심을 짧은 풀이로 설명합니다(1·2·3번 대비).
2. 경우의 수에서는 먼저 고정할 대상을 정하세요. 끝자리, 깃발의 자리 홀짝, 수령 구조, 함께 앉는 사람을 기준으로 중복 없는 경우를 나눕니다(5·7·9·11번 대비).
3. 여사건과 대응 관계를 연결하세요. 원소의 소속 상태와 양 끝의 배열을 전체에서 빼고, 함수의 교환 관계는 순서 없는 짝으로 셉니다(13·18·20번 대비).
4. 유리함수는 표준형과 반복 구조를 연습하세요. 평행이동으로 거리를 단순화하고, 합성 주기와 절댓값 대칭을 그림과 함께 확인합니다(6·8·17번 대비).
5. 함수의 정의역·치역·끝점 표시를 습관으로 만드세요. 도달하는 값과 접근하는 값, 조각별 구간, 평행사변형의 길이 조건을 구분합니다(10·12·14번 대비).
6. 마지막으로 합성 구조와 소인수 지수 정리를 연습하세요. 역함수의 합성 순서, 수평선의 교점 수, 성분별 출현 횟수를 말로 설명한 뒤 전체 시험을 시간을 재며 풉니다(4·15·16·19번 대비).