하나고등학교
2025년 1학년 2학기 중간고사

하나고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 어떤 시험인가

하나고등학교는 서울 은평구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 내분점과 기울기 같은 기본 개념에서 출발해 접선, 대칭, 넓이, 거리의 최대·최소로 이어지는 좌표도형 중심의 시험입니다.

초반에는 완전제곱식으로 원의 중심과 반지름을 읽거나 평행·수직 조건을 적용하는 기본형이 나옵니다. 후반에는 그림에서 직각, 대칭, 닮음과 같은 관계를 찾아 식으로 옮겨야 합니다. 같은 거리 공식을 쓰더라도 어떤 점과 직선 사이의 거리를 구할지 결정하는 단계가 중요합니다.

도형을 전부 좌표로 계산하려 하면 풀이가 길어질 수 있습니다. 지름을 찾을 수 있는지, 같은 점에서 그은 접선의 길이를 이용할 수 있는지부터 살펴보세요. 서술·단답형에서도 식의 전개만 적기보다 그 식을 세운 도형상의 이유를 짧게 함께 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 이어지는 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~5번과 8·13번입니다. 내분 공식, 원의 표준형, 직선의 위치 관계, 대칭이동 등 기본 개념을 정확하게 적용하는 구간입니다. 8번은 세 점을 원의 일반형에 모두 대입하기 전에 직각삼각형과 지름의 관계를 발견하면 계산을 줄일 수 있습니다.

보통인 6번은 접선과 반지름의 수직 관계로 직각삼각형을 만들고 넓이로 연결합니다. 7번에서 어려움 문항이 등장하더라도 8번은 다시 기본형이므로 순서대로 끝까지 해결하려고 머무르지 마세요. 9~12번은 좌표 설정, 최단 경로, 넓이 분할, 공통접선처럼 출발 아이디어가 서로 다릅니다.

서술·단답형에서는 13번이 쉬움, 14~18번이 어려움으로 분류됩니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 다만 후반에는 조건 해석과 계산을 함께 수행해야 하므로, 객관식만 풀고 나서 남은 시간으로 서술·단답형을 처리하는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 원과 직선의 관계가 중심

원의방정식은 중심과 반지름을 읽는 기본형에서 접선과 공통현을 활용하는 유형까지 폭이 넓습니다. 5·13번의 접선 조건을 이해한 뒤 12번의 공통접선으로 확장하고, 6번에서 확인한 접선의 수직 관계를 15번의 길이 관계와 연결해 보세요. 접선 문제를 기울기 계산 하나로만 정리하면 도형 성질을 활용할 기회를 놓칠 수 있습니다.

직선의방정식에서는 7번의 정점과 원의 위치 관계, 11번의 넓이 이등분, 14번의 이등변삼각형, 16번의 대칭과 내접원이 중요합니다. 직선을 세우는 공식보다 조건을 어떤 관계식으로 옮기는지에 초점을 맞추세요. 특히 넓이를 구할 때 공통 높이를 이용한 비례를 먼저 찾으면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

도형의이동은 4번의 연속 대칭에서 10번의 거리 최소, 18번의 이동 후 접선 조건으로 이어집니다. 평면좌표의 9번 역시 좌표를 직접 설정해 거리 제곱의 합을 이차식으로 바꿉니다. 단원별로 공식을 외운 뒤에는 거리·접선·대칭이 한 문제 안에서 연결되는 유형을 연습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 은평구의 좌표도형 대비

같은 2025학년도 1학년 2학기 중간고사 공통수학2를 치른 은평구 이웃 학교들의 평균은 총 28.0문항, 서술·단답형 4.5문항이며, 자동 분류 기준 어려움 비율의 평균은 28%입니다. 하나고는 전체 문항 수는 적지만 서술·단답형은 더 많고, 어려움 비율은 56%로 비교 대상 3개교 중 1위입니다. 지역 비교 표의 비율은 정수 단위로 표시했습니다.

가장 많이 출제된 단원은 하나고와 대성고가 원의방정식이고 숭실고는 집합입니다. 같은 과목과 시험 시기라도 단원 구성에 차이가 있으므로, 하나고 대비에서는 좌표도형의 풀이를 충분히 확보해야 합니다. 여러 문제를 빠르게 푸는 연습에 더해 접선·대칭·내심처럼 서로 다른 개념을 연결하고 그 이유를 설명하는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이의 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간에 얻은 식을 바로 계산하기보다 도형의 위치와 가능한 경우를 다시 확인해야 한다는 점입니다. 풀이를 복습할 때는 계산 줄보다 경우를 나누거나 관점을 바꾼 지점을 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형의 처리 속도를 확보하고 전체 문항을 훑으세요. 7번에서 거리 부등식 정리가 길어지면 표시한 뒤 8번을 확인하고, 객관식 후반에 머무르기 전에 13번의 접선 조건도 살펴보세요. 문항 번호만으로 풀이 부담을 예상하기보다 좌표 설정이나 그림의 관계가 바로 보이는지에 따라 순서를 조정하는 연습이 좋습니다.

서술·단답형에는 식을 세운 근거를 남길 시간이 필요합니다. 14번은 같은 길이인 변을 정한 이유, 16번은 내심이 대칭축 위에 있는 이유, 18번은 이동 후 접선 조건을 차례로 적어 보세요. 연습할 때 그림 해석에 걸린 시간과 식을 정리하는 시간을 구분하면 어느 단계에서 멈추는지 파악하기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 조건과 등호의 성립을 확인하세요. 7번은 원과 만나지 않는다는 엄격한 부등식, 9번은 점이 놓일 수 있는 범위, 10번은 최단 경로가 실제로 실현되는 순서가 중요합니다. 15번의 사분면 조건과 16번의 매개변수 범위도 확인하고, 제곱해서 정리한 식은 원래의 거리 조건으로 돌아가 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분점, 기울기, 원의 표준형을 먼저 복습하세요. 좌표 계산 뒤 부호를 확인하는 절차를 정해 기본형의 실수를 줄이세요(1·2·3번 대비).
2. 원의 접선을 중심과 직선 사이의 거리로 표현하세요. 통과점이나 기울기가 주어진 경우를 나누고 수직 접선도 확인하세요(5·7·12·13번 대비).
3. 직각삼각형과 접선의 길이, 닮음을 함께 연습하세요. 좌표를 전개하기 전에 같은 길이와 넓이의 비를 그림에 표시하세요(6·8·11·14·15번 대비).
4. 거리의 최소 문제에서 좌표 설정과 대칭이동을 각각 연습하세요. 이차식의 최소를 만드는 점의 범위와 최단 경로의 실현 가능성을 확인하세요(9·10번 대비).
5. 대칭인 직선과 내접원을 연결해 보세요. 내각 이등분선에서 내심을 찾고 변까지의 거리가 반지름이라는 조건을 쓰세요(16번 대비).
6. 공통현과 도형의이동을 접선·거리 조건으로 확장하세요. 공통현이 지름을 포함하는지, 이동 후 중심과 반지름이 어떻게 되는지 말로 설명하세요(4·17·18번 대비).