잠일고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

잠일고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 이차곡선과 평면벡터입니다. 포물선·타원·쌍곡선의 방정식과 정의, 접선의 조건을 다루며 벡터의 연산을 도형의 위치와 길이로 해석하는 문항이 함께 나옵니다.

초반에는 초점과 준선, 장축, 초점 거리로 표준형을 정하는 기본 문항이 배치되어 있습니다. 이후에는 같은 정의를 도형 속에서 다시 찾아야 합니다. 곡선의 식을 바로 연립하기보다 초점까지의 거리와 준선까지의 거리, 거리의 합과 차를 먼저 표시하면 계산 방향이 선명해집니다.

평면벡터도 단순 연산에만 머물지 않습니다. 정다각형의 대칭성, 움직이는 점의 자취, 사다리꼴의 중점과 높이를 읽어야 합니다. 벡터식을 정리한 결과가 어떤 방향이나 선분을 뜻하는지 설명하는 연습이 시험 전체의 준비에 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 사이의 고난도와 후반 집중

쉬움 문항은 1~4번과 7·9·17번입니다. 표준형을 고르거나 기본 관계를 적용하는 구간이지만, 타원의 장축 방향과 쌍곡선의 초점 관계를 혼동하면 초반부터 실수가 생깁니다. 서술·단답형의 시작인 17번도 자동 분류 기준 쉬움이므로 객관식 후반에 막혀 함께 미루지 않는 편이 좋습니다.

보통 문항은 5·6·10·12·13·18번입니다. 정의를 거리로 옮기거나 접선식을 만든 뒤 추가 조건을 대입하는 단계가 필요합니다. 특히 10·13·18번은 접선이라는 공통 주제를 다루지만, 접점이 주어졌는지 곡선 밖의 점이 주어졌는지에 따라 출발하는 조건이 달라집니다.

어려움 문항은 8·11·14·15·16·19·20번입니다. 앞부분에도 섞여 있어 번호 순서와 난도가 일치하지 않습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 정의와 도형 관계를 연결하는 과정에 시간을 남기는 운영은 필요합니다.

출제 단원 — 이차곡선 중심, 벡터는 도형 해석

이차곡선은 전체의 75%입니다. 1~3번에서 곡선별 기본 방정식을 확인하고, 5·7·8번에서는 포물선과 타원의 정의를 거리 관계에 적용합니다. 표준형 암기에서 끝내지 말고 그림 위의 어느 선분이 초점 거리나 준선까지의 거리인지 짚어 보세요.

쌍곡선은 점근선, 접선, 초점 거리의 차가 여러 문항에서 연결됩니다. 10·13·17·18번으로 접선식을 세우는 방법을 익힌 뒤 14·15·19번으로 확장하는 순서가 좋습니다. 접선 조건과 곡선 위의 점 조건은 서로 대신할 수 없으므로 필요한 식을 각각 확인해야 합니다.

평면벡터는 전체의 25%이지만 11·16·20번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 4·12번의 연산과 계수 비교를 바탕으로 공통 시점, 대칭, 중점 표현을 연습하세요. 벡터를 길이로 바꾸기 전에 방향을 처리해야 한다는 점이 도형 문항에서 특히 중요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 이차곡선 비중과 후반 부담의 변화

작년과 올해는 모두 기하이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 그대로이고, 보통은 9문항에서 6문항으로 줄었으며 어려움은 4문항에서 7문항으로 늘었습니다. 같은 문항 수라도 여러 조건을 연결하는 문제에 대비할 필요가 커진 구성으로 읽을 수 있습니다.

작년에는 이차곡선과 평면벡터가 각각 10문항이었지만 올해는 이차곡선 15문항, 평면벡터 5문항입니다. 이차곡선의 비중이 커졌다고 벡터를 뒤로 미루기보다는, 이차곡선의 접선과 정의 활용에 학습 시간을 더 배정하면서 벡터의 도형 해석을 유지하는 편이 좋습니다.

작년 어려움은 7·8·13·15번이었고 올해는 8·11·14·15·16·19·20번입니다. 올해는 서술·단답형 끝에도 어려움이 배치되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 객관식 계산 속도와 함께 서술형의 출발 조건을 짧게 정리하는 연습을 해 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이의 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 해석을 바꾸는 단계가 있습니다. 풀이를 복습할 때는 식만 다시 쓰기보다 어떤 조건 때문에 거리, 자취, 접선 정보를 연결했는지 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 먼저 확보하고 8·11번에서 접근이 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 객관식 끝의 14~16번을 모두 해결해야만 서술·단답형으로 넘어간다는 순서를 고집할 필요는 없습니다. 17·18번의 출발 조건을 확인한 뒤 후반 고난도로 돌아오는 연습이 도움이 됩니다.

이차곡선에서는 거리의 합과 차, 초점 사이 거리와 반초점 거리를 구별하세요. 쌍곡선의 거리 차는 점이 놓인 가지에 따라 순서를 정해야 하며, 접선식을 얻은 것만으로 접점의 곡선 조건까지 처리된 것은 아닙니다. 사분면 조건은 원문에서 확인하고 좌표 후보의 부호를 마지막에 대조하세요.

벡터에서는 시점과 종점을 먼저 확인하세요. 11번은 방향을 뒤집을 때의 부호, 16번은 자취의 범위, 20번은 벡터 합과 크기의 구별이 중요합니다. 검토 시간에는 계산을 전부 반복하기보다 빠진 조건과 보조선의 의미를 확인하고, 서술형에서 다음 식으로 넘어가는 근거가 드러나는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 초점·준선·장축·점근선을 보고 표준형을 복원하세요. 전체 길이와 절반 길이를 구별하는 짧은 점검표를 만들어 보세요(1·2·3·9번 대비).
2. 곡선의 정의를 그림의 선분에 직접 표시하세요. 포물선의 수선과 타원의 거리 합부터 시작해 두 곡선의 정의를 함께 쓰는 유형으로 확장하세요(5·7·8번 대비).
3. 접점, 기울기, 외부의 점 중 무엇이 주어졌는지 구분해 접선식을 세우세요. 접선의 통과 조건과 접점의 곡선 조건을 각각 적으세요(6·10·13·17·18번 대비).
4. 쌍곡선의 정의와 직각삼각형의 관계를 묶어 연습하세요. 거리 차의 순서와 점의 위치를 먼저 정하고 접선 조건까지 연결하세요(14·15·19번 대비).
5. 벡터 연산은 공통 시점으로 바꾸고 실수배 계수를 비교하는 기본형부터 익히세요. 정다각형에서는 중심을 시점으로 잡아 대칭성을 확인하세요(4·11·12번 대비).
6. 벡터식을 자취나 중점으로 바꾸는 도형 문제를 연습하세요. 최솟값의 달성 여부와 수선으로 얻은 높이의 의미까지 설명해 보세요(16·20번 대비).