중산고등학교
2026년 2학년 1학기 중간고사

중산고 2학년 1학기 중간 기하는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 이차곡선과 공간도형입니다. 곡선의 방정식에서 길이와 접선 조건을 읽는 문제와 입체의 위치 관계, 수직, 이면각, 정사영을 해석하는 문제가 함께 출제되었습니다.

이차곡선에서는 정의를 활용하는 방식이 반복됩니다. 초점까지의 거리와 준선까지의 거리를 바꾸거나, 두 초점까지의 거리의 합과 차를 이용해 도형 조건을 정리합니다. 방정식을 곧바로 연립하기 전에 어떤 길이가 서로 같거나 일정한지 찾으면 계산의 방향을 잡기 쉽습니다.

공간도형에서는 입체 그림을 필요한 평면으로 옮기는 과정이 중요합니다. 두 직선이 이루는 각은 평행한 직선으로 옮겨 보고, 이면각은 교선에 수직인 단면으로 해석하세요. 서술·단답형에서는 수직 관계의 근거와 곡선의 정의를 적용하는 이유를 드러내는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반의 조건 연결이 관건

쉬움에 해당하는 1·2·8번은 표준형의 의미와 곡선 분류, 평면 결정 조건을 확인합니다. 특히 2번은 이차항의 계수가 사라지는 경우를 구별해야 하고, 8번은 서로 다른 점을 사용해도 같은 평면이 나올 수 있음을 살펴야 합니다. 기본 개념을 문장으로 설명할 수 있어야 안정적으로 처리할 수 있습니다.

보통 문항은 초반뿐 아니라 13·17·20번에도 있습니다. 삼각기둥의 각을 평면 삼각형으로 바꾸는 13번, 타원의 접점을 찾는 17번, 내접 조건을 접선으로 해석하는 20번은 접근법을 알면 풀이를 이어 갈 수 있습니다. 앞의 어려움 문항에 막혔더라도 뒤 문항을 확인하세요.

자동 분류 기준 어려움은 11번부터 시작됩니다. 곡선의 정의와 접선 또는 다른 곡선을 연결하거나, 정사영에 필요한 각을 별도로 구성해야 하는 문항들입니다. 이는 자동 분류에 따른 구분이므로 실제 체감 난도 순위로 단정할 수는 없지만, 후반의 조건 해석 시간을 확보해야 한다는 학습 방향은 읽을 수 있습니다.

출제 단원 — 이차곡선의 거리 해석과 공간의 수직 관계

이차곡선은 기본 방정식 확인에서 거리의 최솟값, 접선, 곡선끼리의 결합으로 확장됩니다. 5번에서 포물선의 정의를 거리로 바꾸는 방법을 익힌 뒤 12·14·18·21번에서 다른 조건과 연결해 보세요. 같은 정의를 쓰더라도 무엇을 먼저 구해야 하는지는 문항마다 달라집니다.

타원은 7·17·20번의 접선과 12·15·23번의 거리 관계를 함께 준비해야 합니다. 쌍곡선은 9번의 점근선과 교점 조건, 15·18번의 거리 차 해석이 중요합니다. 타원의 거리 합과 쌍곡선의 거리 차를 같은 초점 표기 아래 섞어 쓰지 않도록 곡선별 관계를 따로 적으세요.

공간도형은 위치 관계에서 출발해 삼수선의 정리와 정사영으로 이어집니다. 6번에서 입체의 수선을 평면의 수선과 연결하고, 10·16번에서 넓이와 이면각을 연결한 뒤 22번의 접기 상황으로 확장하면 좋습니다. 정사영 공식을 외우는 것만큼 어느 도형을 어느 평면에 내리는지 확인하는 과정이 중요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 고려한 구성 비교

작년 자료는 수학I이고 올해는 기하이므로 같은 과목의 난도 변화로 해석할 수 없습니다. 제공된 단원 분류에 공통 단원이 없어 단원별 비중의 증감을 직접 비교하기도 어렵습니다. 작년에는 삼각함수그래프가 가장 많았고 올해는 이차곡선이 가장 많다는 구성상의 차이만 확인할 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 8문항에서 올해 10문항으로 늘었고 쉬움은 6문항에서 3문항으로 줄었습니다. 다만 전체 문항 수와 과목도 함께 바뀌었습니다. 작년 어려움 문항은 11·12·13·14·16·17·18·20번, 올해는 11·12·14·15·16·18·19·21·22·23번으로, 모두 중후반에 배치되어 있습니다.

서술·단답형은 작년 15~19번에서 올해 21·22번으로 달라졌습니다. 서술·단답형 수가 줄었다는 이유로 준비를 줄이기보다 올해의 곡선 정의와 공간 수직 관계를 근거와 함께 쓰는 연습을 하세요. 마지막 객관식 23번도 자동 분류 기준 어려움이므로 시험 끝부분까지 풀이와 검토 시간을 남겨 두는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 연결 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 앞 단계의 결과가 다음 단계의 도형 조건이 됩니다. 풀이를 시작할 때 사용할 정의와 중간 목표를 적고, 단계가 바뀔 때 길이와 각의 대상을 다시 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형과 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 11·12번에서 조건 연결이 길어지면 표시한 뒤 13번을 확인하고, 후반의 17·20번도 놓치지 마세요. 문항 번호가 뒤라고 모두 같은 부담은 아니므로 전체를 훑는 연습이 도움이 됩니다.

21·22번은 계산에 앞서 근거를 적을 시간을 확보하세요. 21번은 초점 거리와 중점 조건을, 22번은 접는 선과 수선의 발을 먼저 정리하는 것이 좋습니다. 연습할 때는 그림 해석에 쓴 시간과 식을 계산한 시간을 구별해 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 9번의 범위 끝값, 12번의 위치 조건, 20번의 장축 방향을 확인하세요. 공간도형에서는 직선과 평면의 각을 이면각과 혼동하지 않았는지 살펴야 합니다. 23번처럼 점의 위치에 따라 거리 식이 달라지는 문항은 계산 결과보다 경우를 빠뜨리지 않았는지를 먼저 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 이차곡선의 표준형과 공간의 평면 결정 조건부터 복습하세요. 축의 길이와 반축, 같은 평면의 중복을 구별하세요(1·2·8번 대비).
2. 포물선의 초점·준선 정의로 거리를 바꾸는 연습을 하세요. 기본 최솟값에서 선분의 비례와 중점 조건으로 확장하세요(5·14·21번 대비).
3. 타원과 쌍곡선의 거리 합·차를 비교하며 정리하세요. 초점을 공유하는 곡선에서 같은 선분을 어떻게 표현하는지 살펴보세요(12·15·18·23번 대비).
4. 접선은 기울기가 주어진 경우와 외부점을 지나는 경우를 나누어 연습하세요. 접점 좌표와 접선 조건을 연결하세요(7·11·17·20번 대비).
5. 공간의 각을 평면 삼각형으로 옮기는 연습을 하세요. 평행이동과 수직 관계를 근거로 표시하고 각의 종류를 구별하세요(3·4·6·13·19번 대비).
6. 정사영은 원래 넓이, 투영된 넓이, 두 평면 사이의 각을 따로 적어 해결하세요. 닮음과 접기 상황까지 확장하세요(10·16·22번 대비).