창덕여자고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

창덕여자고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 이차곡선과 평면벡터입니다. 포물선·타원·쌍곡선과 직선의 관계, 접선의 방정식, 벡터의 연산과 도형에서의 활용을 함께 다룹니다.

이차곡선에서는 같은 접선 문제라도 출발 조건이 달라집니다. 접점을 아는 문항, 기울기를 아는 문항, 곡선 밖의 점을 지나는 접선을 구하는 문항을 구분해야 합니다. 공식의 모양만 외우기보다 각 공식에 어떤 정보가 들어가는지 설명할 수 있어야 안정적으로 풀 수 있습니다.

평면벡터는 덧셈과 실수배에서 시작해 중점, 평행사변형, 삼각형의 부등식, 움직이는 점의 해석으로 이어집니다. 기본 문항을 처리한 뒤에도 벡터의 방향과 크기를 구별하는 습관이 필요합니다. 전 문항이 객관식이지만 도형 조건을 식으로 옮기는 중간 근거를 간단히 적어 두는 편이 검산에 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 사이에 놓인 후반 응용

쉬움 문항은 초반에만 모여 있지 않습니다. 접선의 기본형을 확인하는 6·9·10번과 벡터를 도형에 적용하는 15·16·18번도 포함됩니다. 특히 17번에서 시간이 걸리더라도 18번을 확인하는 운영이 필요합니다. 번호가 뒤라고 모두 같은 난도라고 생각하지 마세요.

보통 문항은 공식에 조건 선택이 추가됩니다. 7번은 기울기의 부호, 11·12번은 접점을 정하는 과정과 요구한 기울기의 방향, 14번은 접선과 점근선의 교점을 함께 확인합니다. 19번에서는 벡터의 크기를 삼각형의 변의 길이로 해석해야 합니다.

어려움 문항은 17·20·21번입니다. 자동 분류 기준의 분포이므로 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 이 문항들은 식을 바로 계산하기보다 넓이·방향의 범위·초점 관계를 먼저 읽어야 한다는 공통점이 있어 별도 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 이차곡선의 접선과 벡터의 도형 해석

가장 많은 단원은 이차곡선입니다. 3·8번은 직선을 곡선에 대입해 교점의 개수를 판단하고, 4번은 평행이동한 포물선의 초점을 다룹니다. 접선 문제를 준비할 때에도 곡선의 표준형과 초점, 판별식의 의미를 먼저 확인해야 합니다.

접선 학습은 조건별로 묶는 편이 좋습니다. 6·9·10번은 접점이 주어지는 기본형이고, 5·7번은 기울기와 절편 조건을 사용합니다. 11·12번은 외부점을 지나는 조건으로 접점을 찾아야 하며, 14·17·21번은 접선에 넓이 또는 초점의 기하 관계를 연결합니다.

평면벡터에서는 1·2번의 연산이 13번의 평행 조건과 16·18번의 도형 표현으로 이어집니다. 19·20번을 대비하려면 벡터식의 정리만 반복하기보다 합과 차가 어떤 선분을 나타내는지 직접 그려 보세요. 연산 결과와 도형에서의 의미를 함께 설명하는 연습이 효과적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목이 달라 구성 중심으로 확인

작년 자료는 수학I이고 이번 시험은 기하이므로 과목이 다릅니다. 단원이 겹치지 않아 특정 단원의 비중이 늘거나 줄었다고 직접 비교할 수 없습니다. 표의 가장 많은 단원은 각 과목 안의 중심 범위를 보여 주는 항목입니다.

구성에서는 총 문항이 24문항에서 21문항으로 바뀌고, 서술·단답형이 5문항에서 없어졌습니다. 자동 분류 기준 어려움은 1문항에서 3문항으로 늘었지만 쉬움도 8문항에서 12문항으로 늘었습니다. 과목 차이를 고려하면 이 수치만으로 시험 전체가 더 어려워졌다고 판단하기 어렵습니다.

작년의 어려움은 16번이고 이번에는 17·20·21번에 있습니다. 이번 기하를 대비할 때는 작년의 단원 배열을 따르기보다 이차곡선의 접선 기본형과 벡터의 방향 해석을 준비하세요. 후반 응용에 앞서 기본 문항을 안정적으로 처리하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 자동 분류와 풀이 구조를 바탕으로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 도형 조건을 해석한 뒤 식을 세워야 합니다. 계산에 들어가기 전 고정된 대상, 움직이는 대상, 마지막에 확인할 조건을 구분해 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 연산과 접선 기본형처럼 출발점이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 11·12번에서 접점 계산이 길어지거나 17번에서 넓이를 접선으로 연결하지 못하면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 뒤의 18번도 기본 개념으로 접근할 수 있으므로 후반 전체를 한꺼번에 미루지 않는 편이 좋습니다.

접선 문제에서는 계산 전에 주어진 조건에 표시하세요. 5·7번은 기울기와 절편, 6·9·10번은 접점, 11·12번은 외부점과 기울기 부호가 출발점입니다. 3·8번에서는 서로 다른 교점과 접하는 경우를 구별하고, 14번은 점근선의 식을 정확히 세웠는지 확인해야 합니다.

벡터 검산은 시점과 방향을 중심으로 하세요. 13번은 계수 비교의 가정, 16·18번은 뺄셈 순서, 19번은 삼각형의 부등식, 20번은 호의 범위를 점검하세요. 실제 연습에서는 마지막 검토 시간을 남겨 계산을 모두 다시 하기보다 이 조건들이 반영되어 있는지 확인하는 편이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 덧셈·실수배를 복습하고 시점과 종점을 말로 설명해 보세요. 음수 부호와 괄호 처리부터 안정시키세요(1·2·15번 대비).
2. 이차곡선의 표준형, 초점의 이동, 직선 대입과 판별식을 정리하세요. 접하는 경계와 서로 다른 교점을 구분하세요(3·4·8번 대비).
3. 접점이 주어진 접선과 기울기가 주어진 접선을 나누어 연습하세요. 포물선·타원·쌍곡선의 식에서 부호와 분모를 비교하세요(5·6·7·9·10번 대비).
4. 외부점에서 그은 접선은 접점 조건과 통과 조건을 함께 세우세요. 이어 점근선과 축 교점이 결합된 도형으로 확장하세요(11·12·14·21번 대비).
5. 평행 조건과 중점 성질을 공통 시점의 벡터식으로 바꾸세요. 보조점을 그려 합과 차의 크기를 길이로 해석하세요(13·16·18·19번 대비).
6. 도형의 극값은 고정된 길이와 움직이는 방향을 먼저 표시하세요. 높이와 평행 접선의 관계, 호에서 가능한 방향 범위를 구분해 설명하세요(17·20번 대비).