개포고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

개포고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 논리와 집합의 기초를 확인하면서 함수의 대응과 그래프 해석을 깊게 다루는 구성입니다.

초반에는 명제의 참·거짓, 일대일대응, 역함수 계산, 합성함수의 함숫값처럼 기본 정의를 바로 적용할 수 있는 문제가 나옵니다. 이후에는 역함수의 존재 조건을 구간별 치역으로 바꾸거나, 그래프 위 점의 위치를 부등식과 경우 분류로 연결해야 합니다.

서술·단답형도 성격이 서로 다릅니다. 16번은 논리 표현의 정확성, 17번은 합성과 역함수의 정의역·치역 연결, 20번은 무리함수의 그래프와 경우 세기가 중심입니다. 풀이 길이를 예상하기 전에 각 문항의 출발 조건을 파악하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 구간에서는 정의를 정확히 적용해 시간을 확보하는 것이 중요합니다. 2번은 대응에서 남은 값을 확인하고, 3번은 역함수를 구하는 절차를 적용하며, 6번은 합성 순서에 따라 대입합니다. 16번도 자동 분류 기준 쉬움이지만 부정과 대우를 문장으로 정확히 표현해야 합니다.

보통 구간은 기본 개념을 다른 표현으로 옮기는 단계입니다. 4·5번은 조건을 진리집합으로, 7번은 증명을 가정과 모순의 흐름으로 읽어야 합니다. 8·9번은 각각 무리함수의 증감과 유리함수의 점근선을 활용하므로 그래프의 기본 성질을 빠르게 떠올릴 수 있어야 합니다.

10번 이후에는 반복 합성의 주기, 대칭성, 역함수의 존재, 집합 조건과 경우 세기 등 서로 다른 사고가 이어집니다. 자동 분류 결과가 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에서는 계산 전에 구조를 정하는 시간이 필요합니다. 한 문항의 계산에 오래 묶이면 다른 접근 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수의 비중과 확장

합성함수와역함수는 기본 계산부터 존재 조건까지 폭이 넓습니다. 3·6번의 절차를 익힌 뒤 12번의 유한집합 대응, 15·21번의 구간별 일대일대응으로 확장해 보세요. 역함수를 구하는 공식만 외우면 치역의 중복이나 빠진 값을 검사하는 문제에서 막힐 수 있습니다.

명제는 1·4·5·7·16번에 분포합니다. 필요조건과 충분조건의 방향, 전체집합을 기준으로 한 부정, 귀류법의 가정을 서로 구별해야 합니다. 집합으로 분류된 18번에서도 논리 조건을 원소의 포함 관계로 바꾸므로 명제 학습을 문장 판별만으로 끝내지 않는 것이 좋습니다.

유리함수와 무리함수에서는 그래프의 성질이 계산 방향을 정합니다. 유리함수의 점근선은 9번의 도형, 11번의 대칭 중심, 13번의 길이 최적화로 이어집니다. 무리함수는 8번의 증감에서 14번의 역함수·이동 관계, 20번의 사분면 분류까지 연결해 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 공통 단원 점검

작년은 수학(하), 올해는 공통수학2로 과목이 다릅니다. 따라서 가장 많은 단원이 바뀌었다는 사실을 같은 범위 안의 출제 경향 변화로 해석하기는 어렵습니다. 공통 단원에서는 무리함수가 작년 6문항에서 올해 3문항, 유리함수가 3문항에서 4문항, 함수가 2문항에서 1문항으로 바뀌었습니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 10문항에서 올해 11문항으로 늘었지만 총 문항도 늘었습니다. 작년에는 8·9번에서 어려움이 등장하고 후반에도 이어졌으며, 올해는 10번에서 시작해 16번을 제외한 후반에 집중됩니다. 개수만으로 시험 전체가 더 어려워졌다고 단정하기보다 기본 구간과 후반 구간의 역할을 구별하세요.

공통 단원을 복습할 때에는 유리함수의 점근선과 무리함수의 정의역·증감부터 확인하세요. 올해 자료에서 강조되는 역함수 존재 조건은 올해 문항을 기준으로 별도 정리하는 편이 좋습니다. 서로 다른 과목의 단원 분포를 그대로 다음 시험의 예상 비중으로 삼지는 마세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 개별 계산 전에 전체 구조를 정해야 한다는 것으로, 대응표나 묶음 표시, 구간 그림을 먼저 만드는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형과 16번을 확인해 해결 가능한 문항을 확보하세요. 10~15번에서 풀이가 길어지더라도 서술·단답형을 모두 같은 부담으로 판단하지 않는 편이 좋습니다. 막힌 문제에는 필요한 조건과 현재까지 얻은 관계를 짧게 적고 다음 문항으로 이동하세요.

17번에서는 함수식만 정리하고 끝내지 말고 정의역과 치역을 별도로 기록하세요. 20번은 매개변수별 계산을 시작하기 전에 시작점·방향·절편을 기준으로 분류표를 만드는 것이 좋습니다. 서술 답안을 정리할 시간을 남기고, 경우를 나눈 기준이 풀이에 드러나도록 쓰세요.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 5번의 전체집합, 8번의 근호 조건, 12번의 합성 순서, 13번의 양수 조건과 등호 성립 여부를 점검하세요. 19번은 좌표의 부호, 20번은 좌표축과 사분면의 구별, 21번은 치역 끝점의 포함 여부가 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제와 조건을 구별하고 부정·대우·필요충분조건을 진리집합으로 연결하세요. 귀류법은 가정과 모순을 문장으로 설명해 보세요(1·4·5·7·16번 대비).
2. 일대일대응의 대응표와 합성 순서를 익히세요. 역함수를 구하는 기본형에서 유한집합 위의 역함수 합성으로 확장하세요(2·3·6·12번 대비).
3. 반복 합성은 일반적인 형태를 먼저 정리하세요. 거듭제곱이 생기면 나머지의 반복과 합성 횟수의 관계를 확인하세요(10·17번 대비).
4. 유리함수의 점근선과 대칭 중심을 도형과 연결하세요. 이동 방향, 점근선까지의 거리, 최솟값의 등호 조건을 함께 연습하세요(9·11·13·19번 대비).
5. 무리함수는 정의역과 시작점을 먼저 그리세요. 증감, 역함수와 이동, 사분면 조건을 순서대로 확장하고 경계를 따로 검사하세요(8·14·20번 대비).
6. 역함수의 존재 조건을 구간별 단조성과 치역의 중복·누락 검사로 정리하세요. 집합 조건도 함께 선택되는 원소 묶음으로 표현해 보세요(15·18·21번 대비).