청담고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

청담고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

입력 자료의 지역 표기는 서울 서초구입니다. 청담고등학교의 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 명제, 절대부등식입니다. 함수의 대응부터 그래프 해석과 논리적 증명까지 연결되어 있습니다.

초반에는 합성함수의 함숫값, 역함수의 입력과 출력, 명제의 반례처럼 개념을 직접 적용합니다. 중반에는 집합의 포함 관계를 구간 조건으로 바꾸거나 함수의 반복 합성에서 주기를 찾습니다. 풀이를 시작할 때 조건을 어떤 형태로 바꿀지 판단하는 연습이 필요합니다.

후반은 그래프의 대칭과 평행이동, 구간별 치역, 도형 조건을 함께 해석합니다. 마지막에는 대우와 귀류법을 이용한 증명이 있어 수치 계산만 연습해서는 충분하지 않습니다. 조건을 짧은 문장과 그림으로 정리한 뒤 식을 세우는 방식으로 대비하세요.

난이도 분포 — 13~18번에 연속되는 어려움

쉬움은 초반의 계산·정의 확인 문항과 마지막 증명 문항에 나뉩니다. 1·2번은 합성 순서, 3번은 반례의 조건, 7번은 정의역의 제한을 정확히 적용하는 것이 우선입니다. 21·22번은 자동 분류 기준 쉬움이지만 증명 형식을 직접 써야 하므로 풀이를 기억하는 것과 설명할 수 있는 것을 구별하세요.

보통 문항은 구간의 포함 관계와 함수의 조건 해석을 묻습니다. 6·8번의 끝점 처리, 11번의 일대일대응, 12번의 반복 합성은 계산을 줄이는 기준을 먼저 찾아야 합니다. 서술·단답형의 19·20번도 각각 합성의 결합법칙과 부등식의 등호 조건을 명시하는 연습이 도움이 됩니다.

13~18번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 유한집합의 대응을 제한하거나 그래프의 접촉·대칭·치역을 해석하는 과정이 이어집니다. 이 분류만으로 실제 체감 난도를 확정할 수는 없지만, 연속된 후반 문제에 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 시험지를 훑는 전략이 필요합니다.

출제 단원 — 합성함수와 역함수·명제가 중심

합성함수와역함수는 단순 대입부터 반복 합성, 가능한 대응의 선택, 구간별 함수의 역함수 존재 조건까지 폭이 넓습니다. 1·2번으로 입력과 출력의 방향을 확인하고 12·13번에서 대응표로 확장한 뒤 16번의 치역 분할로 넘어가는 학습 순서가 좋습니다.

명제는 반례, 필요·충분조건, 참인 명제를 만드는 상수 조건, 대우와 귀류법을 다룹니다. 자동 분류 기준 어려움은 없지만 객관식과 서술·단답형 모두에 걸쳐 있습니다. 집합 포함을 수직선으로 나타내는 능력과 증명의 가정·결론을 구별하는 능력을 함께 길러야 합니다.

무리함수와 유리함수는 기본형 이후 그래프 해석으로 확장됩니다. 14·17번은 직선 및 역함수와의 관계, 15·18번은 대칭성과 도형 조건이 중요합니다. 20번은 유리함수 그래프를 소재로 하지만 분류 단원은 절대부등식이며, 양수 조건과 등호 성립을 확인하는 연습에 활용하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 공통 단원 점검

작년 과목은 수학(하), 올해는 공통수학2로 서로 다릅니다. 따라서 최다 출제 단원은 각 시험의 구성 정보로 읽고, 단원별 증감은 공통으로 확인되는 범위에서만 살펴야 합니다. 총 문항과 서술·단답형 수는 같고, 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 6문항으로 줄었습니다.

공통 단원 중 유리함수는 6문항에서 3문항, 무리함수는 5문항에서 3문항으로 줄었고 함수는 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 다만 올해 유리함수와 무리함수에도 어려움 문항이 배치되어 있어, 문항 수가 줄었다는 이유로 그래프 해석 연습을 줄이기는 어렵습니다.

작년 어려움은 8·12·13·15·16·18·19·20번에 분포했고 올해는 13~18번에 연속됩니다. 올해는 마지막 21·22번이 자동 분류 기준 쉬움인 증명 문항이므로 후반의 계산 문제와 증명 문제에 시간을 나누어야 합니다. 다음 시험 대비에서는 공통 단원의 그래프 조건을 복습하고 올해 범위의 합성·역함수와 논증을 별도로 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정한 순위가 아닙니다. 공통적으로 식으로 얻은 후보를 그래프와 정의역·치역 조건으로 다시 확인해야 합니다. 풀이를 복습할 때 계산보다 후보를 제외한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~12번의 기본 개념과 대응을 정확히 정리하세요. 13~18번에서 풀이가 길어지면 현재까지 얻은 조건을 표시하고 다른 문항을 확인하는 연습이 필요합니다. 특히 마지막의 21·22번을 보지 못한 채 종료하지 않도록 전체 문항을 먼저 살펴보세요.

서술·단답형은 계산과 근거를 함께 남기는 시간이 필요합니다. 19번은 합성의 결합법칙을 적용한 관계, 20번은 양수 조건과 등호 성립 조건을 적으세요. 21번은 대우의 가정과 결론, 22번은 서로소 가정과 모순을 먼저 메모하면 증명의 방향을 유지하기 좋습니다.

마지막 검토에서는 누락하기 쉬운 조건을 우선 보세요. 6번의 공집합 가능성, 8번의 열린 끝점, 11번의 공역과 치역 일치, 14번의 제곱 전 부호 조건이 대표적입니다. 16번은 치역 경계의 포함 여부를, 18번은 반례가 원래 매개변수 제한을 만족하는지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 입력과 출력의 순서를 화살표로 적으며 합성함수와 역함숫값의 기본 대입을 익히세요. 이후 결합법칙으로 미지 함수를 복원하는 문제로 확장하세요(1·2·19번 대비).
2. 반례와 필요·충분조건을 집합 포함으로 번역하세요. 수직선에 열린 끝점과 닫힌 끝점을 표시하고 공집합 가능성까지 검사하세요(3·4·6·8번 대비).
3. 함수의 종류와 대응 제한을 정리하세요. 함수의 개수, 항등함수의 정의역, 일대일대응의 치역 조건을 구별한 뒤 반복 합성과 남은 대응의 경우를 연습하세요(9·10·11·12·13번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 정의역, 단조성, 점근선과 대칭점을 스케치하세요. 직선과의 위치 관계나 거리 조건을 더한 유형으로 넘어가세요(5·7·14·15·18번 대비).
5. 구간별 치역과 역함수의 대칭, 평행이동을 연결해 연습하세요. 각 단계에서 끝점의 포함과 점의 좌표 변화를 표시하세요(16·17번 대비).
6. 부등식의 등호 조건과 논증의 마무리를 직접 써 보세요. 최소가 실제로 가능한지 확인하고 대우·귀류법에서는 어떤 가정으로 결론에 이르는지 설명하세요(20·21·22번 대비).