양재고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

양재고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산부터 시작하지만, 같은 극한식을 미분계수의 정의로 읽거나 도형의 길이 관계로 구성하는 문항까지 포함되어 있습니다.

풀이의 출발점을 선택하는 일이 중요한 시험입니다. 분모가 영으로 가까워질 때 분자에 필요한 조건을 찾고, 차분몫의 형태로 바꾼 뒤 미분계수를 연결해야 합니다. 그래프에서는 함숫값, 한쪽 극한, 접선의 기울기를 구별해야 하므로 식을 빠르게 미분하는 연습만으로는 충분하지 않습니다.

서술·단답형도 기본 정의를 쓰는 문항과 여러 조건을 결합하는 문항이 함께 있습니다. 특히 19번은 도함수의 정의를 이용하는 풀이 방식이 명시되어 있습니다. 계산 결과만 정리하기보다 왜 해당 극한을 미분계수로 볼 수 있는지, 어느 지점에서 조건을 적용했는지 짧게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·19번이고, 보통은 2·5·9·20번입니다. 1번은 무한대에서의 극한, 19번은 도함수의 정의를 확인합니다. 보통 문항도 발산하는 함수의 조합이나 다항식의 결정처럼 식을 재구성해야 하므로, 단순 대입이 가능한지 먼저 판단하는 습관이 필요합니다.

3·4번부터 자동 분류 기준 어려움 문항이 나옵니다. 이어지는 5·9번은 보통으로 분류되어 있어, 앞 문항에서 막혔다는 이유로 그 뒤까지 미루면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다. 10~18번은 모두 어려움으로, 연속과 미분가능성의 구별, 접선과 도형, 교점 개수 해석이 이어집니다.

서술·단답형은 19번의 정의 확인에서 20번의 극한 조건, 21번의 교점 개수, 22번의 복합 조건으로 연결됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반까지 근거를 정리할 시간을 남겨야 하는 구성이라는 점은 학습 계획에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 미분계수의 정의를 중심으로 연결

미분계수와도함수는 가장 큰 비중을 차지합니다. 3·9·13·15·22번에서는 겉으로 다른 식을 미분계수의 정의에 맞추어 읽는 능력이 중요합니다. 6·12번의 기하적 의미와 10·18번의 미분가능성까지 함께 준비해야 하므로, 공식 계산과 정의에 의한 해석을 연결해 공부하세요.

함수의극한은 1·2번의 식 정리뿐 아니라 7번의 그래프와 합성된 입력, 11·14·16번의 도형 관계를 포함합니다. 14번처럼 극한 단원으로 분류되어 있어도 접선의 기울기를 함께 사용하는 문항이 있습니다. 단원 이름만 보고 풀이 도구를 제한하기보다 무엇을 함수로 표현해야 하는지 먼저 찾으세요.

함수의연속에서는 5·8번이 불연속인 인수를 포함한 몫이나 곱을, 17·21번이 교점 개수를 함수로 보는 관점을 다룹니다. 도함수의활용인 4번은 증가성을 이용해 근의 위치를 매개변수의 범위로 옮깁니다. 연속, 미분가능, 증가성의 의미를 각각 설명할 수 있어야 응용 과정이 안정됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간에 얻은 식만으로 결론을 내릴 수 없다는 것입니다. 경계의 포함 여부, 추가 미분가능성 조건, 모순되는 경우를 다시 확인해야 풀이가 완성됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 식의 구조가 바로 보이는 문항부터 확보하세요. 3·4번에 시간이 길게 걸리면 표시하고 5·9번을 확인하며, 객관식을 모두 끝낸 뒤에만 서술·단답형으로 넘어가는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 19번은 기본 정의를 정확히 쓸 수 있는지 먼저 확인하고, 복잡한 그래프나 경우 분류는 다시 돌아와 처리하세요.

계산을 시작하기 전 조건을 짧게 표시하면 검토 시간을 줄일 수 있습니다. 7번에서는 치환 후 접근 방향, 10번에서는 연속이면서 미분가능하지 않다는 조건, 12번에서는 접점과 외부점의 구별을 적어 두세요. 19번은 요구된 정의에 의한 풀이를 남겨야 하므로 공식을 적용한 결과만 쓰지 않도록 주의하세요.

마지막에는 모든 계산을 반복하기보다 경계와 제외 조건을 확인하세요. 4번의 열린구간은 끝값을 포함하지 않으며, 17번은 좌우 정의역의 경계 포함이 교점 수를 바꿉니다. 18번은 가능한 모든 꺾임과 접합점을, 22번은 영이 아니어야 하는 도함수 조건을 다시 대조하세요. 시험 연습에서는 풀이와 조건 검토 시간을 구분해 기록해 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 무한대에서의 극한과 발산하는 함수의 조합부터 정리하세요. 최고차항을 기준으로 나누고, 유한한 극한을 갖는 부분을 별도로 두는 연습을 하세요(1·2번 대비).
2. 도함수의 정의를 직접 쓰고 차분몫을 만드는 연습을 하세요. 수열과 합, 함수 관계식에서도 같은 정의를 찾아보세요(3·9·13·15·19·20번 대비).
3. 좌극한·우극한·함숫값을 나란히 적어 연속을 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교하세요. 불연속 인수가 포함된 곱과 몫도 함께 연습하세요(5·8·10·18번 대비).
4. 그래프의 접선 기울기와 할선 기울기, 합성된 입력의 접근 방향을 구별하세요. 그림을 읽은 근거를 문장으로 설명해 보세요(6·7번 대비).
5. 도형을 매개변수의 함수로 나타내세요. 수선, 접선과 반지름의 수직 관계, 중점과 거리 공식을 고른 뒤 극한 계산으로 넘어가세요(11·12·14·16번 대비).
6. 근과 교점의 개수가 바뀌는 경계를 표로 정리하세요. 증가성을 이용한 근의 위치와 접할 때의 개수도 따로 확인하세요(4·17·21번 대비).
7. 여러 조건이 결합된 문제는 조건별로 얻은 사실을 기록하세요. 경우 분류 뒤 원래 조건에 대입해 누락과 모순을 검사하는 연습으로 마무리하세요(18·22번 대비).