중산고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

중산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 명제, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 절대부등식입니다. 함수 단원에서는 함숫값 계산뿐 아니라 대응의 성질과 그래프의 조건을 함께 다룹니다.

초반에는 합성 순서와 역의 참·거짓 같은 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 일대일대응이 되는 조건, 집합 사이 함수의 개수, 반복 합성의 규칙으로 이어집니다. 식을 바로 전개하기보다 입력과 출력이 어디에 속하는지 먼저 정리해야 풀이가 짧아집니다.

그래프 문제는 계산과 해석을 연결해야 합니다. 유리함수의 점근선을 도형의 좌표로 읽거나 무리함수의 교점을 원의 성질과 연결하는 방식입니다. 서술·단답형도 뒤쪽에 따로 모여 있지 않으므로, 형식과 필요한 풀이 단계를 문항마다 확인하세요.

난이도 분포 — 후반에도 기본형을 찾아야 하는 구성

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·3·8번입니다. 합성의 순서, 역함수의 대응, 명제의 역과 대우처럼 용어를 정확히 알아야 처리할 수 있습니다. 쉬움으로 분류되어 있어도 역과 대우를 혼동하거나 합성 순서를 바꾸면 풀이 전체가 달라집니다.

자동 분류 기준 보통은 4·5·6·7·9·11·17·20번입니다. 평행이동, 제한된 정의역의 최대·최소, 부정 명제의 조건 변환이 중심입니다. 17번의 역함수 조건과 20번의 부등식은 후반에 있지만 출발점이 비교적 분명하므로 먼저 접근할 후보로 삼을 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 10·12·13·14·15·16·18·19·21·22번입니다. 특히 12~16번은 대응과 합성의 구조를 연속해서 다룹니다. 실제 체감 난도는 달라질 수 있지만, 이 구간에서 모든 경우를 머릿속으로 처리하려 하면 조건을 빠뜨리기 쉬우므로 표나 간단한 그림을 활용하세요.

출제 단원 — 합성함수와 역함수를 중심으로 연결

합성함수와역함수는 1·3번의 함숫값 계산에서 13·14·19·21번의 조건 해석으로 이어집니다. 반복 합성의 규칙을 찾는 문제와 역함수 관계로 식을 되돌리는 문제는 접근이 다릅니다. 합성 기호를 보면 먼저 안쪽 입력부터 중간값을 기록하고, 역함수는 입력과 출력을 바꾸어 읽으세요.

함수 단원의 9·12·15·16번은 일대일대응과 함수의 개수를 다룹니다. 공역과 치역이 같다는 조건, 같은 함숫값이 반복되지 않는다는 조건을 구별해야 합니다. 명제의 2·6·7·8번도 조건의 방향을 정확히 읽는 연습이므로 함수 문제와 함께 논리적 출발점을 정리하기 좋습니다.

유리함수는 평행이동, 점근선과 도형, 저항을 이용한 식 구성, 정의역 전체에서의 부등식으로 확장됩니다. 무리함수 역시 최대·최소와 역함수에서 도형 조건으로 나아갑니다. 절대부등식의 20번은 양수인 식으로 치환한 뒤 등호가 실제로 가능한지 확인하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 대응 관계의 비중은 확대

작년과 올해 자료의 과목은 모두 공통수학2입니다. 총 문항 수는 같지만 서술·단답형은 작년 13문항에서 올해 4문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 11문항에서 올해 10문항으로 줄고 보통은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 형식의 변화만으로 실제 풀이 부담이 크게 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 유리함수가 6문항으로 가장 많았고 합성함수와역함수가 5문항이었습니다. 올해는 합성함수와역함수가 6문항으로 가장 많고 유리함수는 4문항입니다. 함수는 3문항에서 4문항, 무리함수는 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 공통으로 나오는 단원을 준비하되 대응 관계와 합성 조건에 더 많은 연습을 배정할 만합니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 10·11번과 14~22번에 있었고, 올해는 10번과 12~16번, 18·19·21·22번에 있습니다. 올해는 후반의 17·20번에서 보통 문항을 찾을 수 있다는 점이 시간 운영에 중요합니다. 다음 시험 대비에서도 객관식의 조건 분류와 서술형의 근거 작성은 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표의 순위를 근거로 고른 것이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 결과를 원래의 그래프나 도형 조건에 다시 연결해야 합니다. 중간 결과 옆에 적용되는 구간과 기하적 의미를 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 합성 순서와 기본 그래프가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 10번이나 12~16번에서 정리가 길어지면 표시하고 후반의 17·20번도 확인하세요. 객관식과 서술·단답형이 섞여 있으므로 마지막에 서술형을 한꺼번에 보려는 방식은 피하는 것이 좋습니다.

경우를 나눌 때는 경계값을 별도로 적으세요. 9번은 기울기가 사라지는 경우, 19번은 절댓값 그래프의 꺾이는 높이, 22번은 유리함수의 증감 방향이 바뀌는 경우가 중요합니다. 점근선에 가까워지는 값은 실제로 도달하는 최댓값과 구별해야 하며, 정의역의 끝점 포함 여부도 확인하세요.

서술·단답형에서는 결론을 뒷받침하는 조건을 남기세요. 17번은 역함수 조건을 원함수의 대응으로 바꾼 근거, 18번은 원과 직각의 연결, 20번은 양수 조건과 등호 성립 여부가 필요합니다. 검토할 때는 긴 계산을 반복하기보다 조건을 바꾸어 읽은 부분과 후보를 걸러 낸 부분을 우선 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합성의 입력 순서와 역함수의 대응을 먼저 복습하세요. 화살표로 중간값을 표시한 뒤 역함수 조건을 원함수 조건으로 바꾸어 보세요(1·3·14·17번 대비).
2. 명제의 역·대우·부정과 필요·충분조건을 구별하세요. 반례를 직접 찾고 모든 실수에 대한 조건을 그래프나 판별식으로 옮겨 보세요(2·6·7·8번 대비).
3. 기본 그래프의 이동과 증감을 정리하세요. 정의역의 양 끝과 점근선을 표시한 뒤 치역을 결정하는 연습을 하세요(4·5·9·11번 대비).
4. 유한집합의 함수는 원소 수와 대응표를 함께 쓰세요. 치역 조건과 일대일 조건을 구분하고 이미 사용한 함숫값을 표시하세요(12·15·16번 대비).
5. 반복 합성은 치역에서의 규칙부터 찾으세요. 교점 수 문제는 중간 입력과 원래 입력의 개수를 나누어 정리하세요(13·19·21번 대비).
6. 좌표와 부등식 조건을 근거까지 써서 마무리하세요. 점근선과 도형, 원의 직각 성질, 양수 치환과 등호 조건, 매개변수별 증감을 차례로 연습하세요(10·18·20·22번 대비).