중산고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

중산고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 여러가지부등식, 여러가지방정식, 행렬입니다. 방정식의 인수분해와 부등식의 해석, 조건부 경우의 수, 행렬의 연산 및 성질까지 다룹니다.

같은 단원 안에서도 출발점을 달리해야 합니다. 순열조합은 자연수의 범위를 정해 세는 문제에서 배치와 색칠 문제로 확장되고, 부등식은 직접 해를 구하는 유형에서 정수해의 개수로 매개변수를 제한하는 유형으로 이어집니다. 행렬도 성분 계산에 그치지 않고 주어진 관계를 변형해 필요한 정보를 얻어야 합니다.

풀이의 첫 단계와 마지막 검토가 모두 중요합니다. 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 먼저 적고, 계산한 후보가 원래 조건을 모두 만족하는지 확인하세요. 서술·단답형은 답만 떠올리는 연습보다 조건을 식으로 옮긴 근거와 제외한 경우를 짧게 기록하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·3·17번입니다. 자연수 조건의 경우 세기, 삼차방정식의 인수분해, 행렬의 기본 연산, 삼각형 성립 조건을 확인합니다. 보통은 4·6·7·8번이며 인수분해에 따른 분기, 묶음과 틈 배치, 거듭제곱 규칙, 생활 상황의 부등식 표현이 필요합니다.

5번은 초반에 놓인 어려움 문항입니다. 최고차항의 계수가 사라지는 예외를 분리해야 하므로 판별식부터 적용하면 빠뜨리는 경우가 생깁니다. 여기서 막혔더라도 6~8번을 이어서 확인하고, 서술·단답형의 17번까지 미리 살펴보는 운영이 좋습니다.

9~16번과 18~22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 뒤로 갈수록 반드시 더 어렵다는 뜻은 아니지만 조건 정리와 검증이 연속되어 시간 부담이 생길 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 결과이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 순열조합과 부등식의 경우 분류

순열조합은 합의 법칙, 묶음과 틈, 이동 순서, 포함 조건, 색칠을 다룹니다. 공식을 고르기 전에 세는 대상을 분명히 해야 합니다. 순서가 있는 배치와 순서 없이 고르는 경우를 구별하고, 조건에 따라 앞뒤 선택 가능성이 달라지는지 확인하세요.

여러가지부등식은 모든 실수에서의 성립, 운송비 조건, 근의 변환, 정수해 개수, 삼각형 조건을 포함합니다. 특히 15·21번은 연립부등식의 공통부분을 먼저 구한 뒤 정수를 세어야 합니다. 끝점의 등호를 수직선에 표시하는 습관이 중요합니다.

여러가지방정식은 인수분해·치환과 허근 판단을, 행렬은 성분 계산·거듭제곱·관계식 변형을 함께 준비하세요. 10·12·20번에서는 허근이 속한 식을 구별해야 하며, 11·14·22번에서는 행렬 전체를 직접 구하기 전에 주어진 등식으로 계산을 줄일 수 있는지 살펴보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 증가와 출제 단원의 변화

자료상 작년과 올해의 과목명은 모두 공통수학1입니다. 총 문항은 20문항에서 22문항으로 늘고 서술·단답형은 9문항에서 6문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 11문항에서 14문항으로 늘었으므로, 서술·단답형이 줄었다는 이유만으로 전체 부담이 작아졌다고 보기는 어렵습니다.

여러가지부등식은 작년과 올해 모두 6문항으로 가장 많은 단원에 해당하며, 여러가지방정식은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 작년에는 평면좌표·원의방정식·이차함수·직선의방정식이 포함되었고 올해는 순열조합과 행렬이 포함됩니다. 출제 범위 구성이 다르므로 단원 변화와 난도 변화를 같은 원인으로 단정하지 말고 올해 범위에 맞춰 준비하세요.

작년의 어려움은 9~16번과 18~20번이며, 올해는 5번에서 먼저 등장한 뒤 9~16번과 18~22번에 이어집니다. 후반의 연속된 어려움에 대비하면서도 초반 예외 문항에서 시간을 조절하는 연습이 필요합니다. 겹치는 부등식·방정식의 조건 해석을 다지고 순열조합·행렬의 대표 접근법을 따로 정리하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간에 얻은 식이나 후보만으로 결론을 내릴 수 없습니다. 경우 분류가 모든 상황을 포함하는지, 후보가 남은 조건에도 맞는지를 점검하는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 계산을 정확히 처리하고 5번의 예외 분류가 길어지면 표시해 두세요. 이어지는 6~8번과 서술·단답형의 17번을 먼저 확보하는 전략을 연습할 수 있습니다. 객관식 후반을 모두 마친 뒤에야 서술·단답형을 시작하기보다 시험지 전체에서 접근 가능한 문제를 찾으세요.

경우의 수는 식을 쓰기 전에 분류 기준을 짧게 적으세요. 6번은 묶음 내부와 외부, 9번은 지정 지점 전후, 18번은 필수 포함과 제외 조건을 구별하면 계산을 다시 시작하는 일을 줄일 수 있습니다. 19번은 그림의 인접 관계를 표시하고 색 선택이 달라지는 분기부터 확인하세요.

마지막 검토는 부등식의 등호와 행렬 조건의 누락을 중심으로 하세요. 5번은 차수가 낮아지는 경우, 15·21번은 정수해의 경계, 20번은 제곱이 영이 되는 경우를 확인해야 합니다. 14번은 곱셈 순서, 22번은 모든 성분의 일치 여부를 확인하며 후보를 원래 조건에 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수정리와 인수분해로 근을 구한 뒤 조건에 맞게 정리하는 기본기를 다지세요. 근의 순서와 각 경우의 부호까지 기록하세요(2·4번 대비).
2. 행렬의 덧셈·실수배·곱셈을 정확히 계산하고 거듭제곱에서 변하는 성분의 규칙을 찾아보세요. 곱의 순서도 함께 점검하세요(3·7번 대비).
3. 부등식의 해를 수직선으로 나타내고 양수 조건과 위치 조건의 공통부분을 구하세요. 최고차항이 사라지는 예외를 따로 연습하세요(5·8·17번 대비).
4. 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하고 묶음·틈·차의 합으로 조건을 바꾸어 보세요. 각 경우가 겹치지 않는지 설명해 보세요(1·6·9·16번 대비).
5. 인수의 재배열과 치환으로 허근이 만족하는 식을 찾으세요. 치환을 되돌린 뒤 실근과 허근을 판단하는 기준을 정리하세요(10·12·20번 대비).
6. 정수해 개수 문제는 근의 순서와 끝점 포함 여부를 먼저 표시하세요. 근의 역수 변환에서 대소 관계가 달라지는 이유도 복습하세요(13·15·21번 대비).
7. 포함·제외 조건과 색칠의 분기를 표로 정리하고, 행렬 관계식에서는 필요한 정보부터 얻으세요. 후보를 나머지 조건에 대조하는 단계까지 연습하세요(11·14·18·19·22번 대비).