언남고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

언남고 고1 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 명제, 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 명제의 참·거짓과 증명부터 그래프의 성질, 제한된 정의역에서의 치역까지 다룹니다.

초반에는 진리집합, 같은 함수의 뜻, 상수함수와 항등함수처럼 정의를 정확히 알면 접근할 수 있는 문항이 나옵니다. 후반에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 일대일대응이라는 말을 치역의 빈틈과 중복 문제로 바꾸거나, 명제의 부정을 전체 원소에 대한 조건으로 해석해야 합니다.

서술·단답형도 난이도가 균일하지 않습니다. 역과 대우를 쓰는 19번과 역함수를 구하는 20번, 교점 조건을 해석하는 21번의 요구가 다릅니다. 번호 순서만 따르기보다 풀이 방향이 보이는 문항부터 해결하고, 증명과 조건 확인을 답안에 적는 시간을 남기는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 집중된 어려움

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 문항에서는 계산량을 줄이는 것보다 개념을 정확히 적용하는 일이 우선입니다. 2번은 명제인지 여부와 참인지 여부를 구분하고, 3번은 유리식의 나눗셈을 처리할 때 원래 식이 정의되는 조건을 챙겨야 합니다.

11번의 집합 관계를 지난 뒤 12번에서 구간별 치역을 확인하고, 13~18번에서는 복합 조건을 계속 해석하게 됩니다. 특히 그래프 문제와 유한집합의 대응 문제가 번갈아 나오므로 한 가지 풀이 방식만 반복해서는 대응하기 어렵습니다.

서술·단답형에서는 21번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 나머지 문항에도 역함수의 변환, 최대값의 근거, 논리식의 부정처럼 작성할 내용이 있습니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하는 계획은 피하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 명제가 가장 많고 함수 조건 해석도 중요

명제는 가장 많은 단원이며 기본 판별, 귀류법, 집합의 포함 관계, 대우 증명까지 연결됩니다. 정의를 외우는 데서 끝내지 말고 같은 내용을 말, 논리식, 진리집합으로 바꾸는 연습을 하세요. 특히 19·23번은 근거를 문장으로 표현하는 준비가 필요합니다.

함수에서는 정의역·공역·치역을 구분하는 일이 중심입니다. 12·17번은 구간별 치역이 어떻게 이어지는지, 14번은 치역의 원소를 중복 없이 어떻게 읽는지, 18번은 대응을 반복했을 때 조건이 어떻게 이어지는지를 묻습니다.

유리함수와 무리함수는 그래프의 기본 성질에서 조건 해석으로 확장됩니다. 점근선과 시작점을 찾은 뒤 끝점, 교점, 역함수의 정의 가능성을 확인해야 합니다. 단원 분류상 합성함수와역함수 문항만 공부하면 15·21번처럼 다른 단원에서 역함수가 쓰이는 상황을 놓칠 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 조건 해석 연습

작년 과목은 수학(하), 올해는 공통수학2로 서로 다릅니다. 따라서 범위가 같은 시험의 난도 변화로 단정하기는 어렵습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항에서 8문항으로 늘었고, 쉬움은 8문항으로 같으며 보통은 10문항에서 7문항으로 줄었습니다.

겹치는 단원에서는 함수가 2문항에서 6문항, 유리함수가 1문항에서 5문항으로 늘었습니다. 무리함수는 6문항에서 3문항, 합성함수와역함수는 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 올해는 기본 함수 개념과 유리함수의 조건 해석을 충분히 연습할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 14·16·17·18번으로 객관식 후반에 있었지만, 올해는 11번부터 등장하고 서술·단답형 21번에도 있습니다. 후반 객관식 대비와 함께 그래프의 조건을 근거로 서술하는 연습을 병행하세요. 과목이 달라진 만큼 겹치는 개념을 점검한 뒤 올해 범위의 명제 학습을 따로 완성하는 순서가 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 문항이 아니라 풀이 구조를 보고 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건을 다른 표현으로 바꾸고, 가능한 경우를 빠짐없이 정리해야 한다는 점입니다. 틀린 뒤에는 계산 오류뿐 아니라 최초로 누락한 조건이 무엇인지 표시해 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~5번과 8·9번의 기본 개념 문항을 정확히 처리하고, 합성 순서나 그래프 해석에서 오래 막히면 표시해 두세요. 객관식 후반에 들어가기 전에 서술·단답형의 요구를 훑어보면 먼저 작성할 수 있는 문항을 확보하기 좋습니다.

13~18번에서는 조건을 정리해도 풀이가 진전되지 않으면 다음 문항으로 이동하세요. 19·20·22·23번은 각각 개념 서술, 역함수 변환, 끝점 비교, 대우 증명의 방향이 비교적 분명합니다. 이 문항들의 작성 시간을 확보한 뒤 남은 시간에 고난도 문항으로 돌아오는 연습을 권합니다.

검토할 때는 12·13·17번의 열린 끝점과 닫힌 끝점, 14번의 치역 원소 중복, 15번의 역함수 입력 가능 여부, 21번의 치환 변수 범위를 우선 확인하세요. 명제 문항에서는 '모든'과 '어떤', '이고'와 '또는'의 부정을 다시 읽고, 23번은 대우를 쓴 뒤 원래 명제가 참이라는 연결까지 마무리하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 진리집합과 명제의 기본 정의부터 정리하세요. 참·거짓 판별과 명제인지 여부를 구분하고, 역·대우를 진리집합으로 설명하세요(1·2·11·19번 대비).
2. 귀류법과 대우 증명은 가정, 변형, 결론의 연결을 직접 써 보세요. 결합 조건의 부정을 말과 기호로 각각 표현해 확인하세요(9·16·23번 대비).
3. 같은 함수, 상수함수, 항등함수, 합성 순서를 점검한 뒤 역함수 변환을 연습하세요. 치역을 집합으로 적어 중복을 없애는 연습도 이어 가세요(4·5·6·14·20번 대비).
4. 구간별 정의역과 치역을 수직선에 표시하고 끝점의 포함 여부를 비교하세요. 일대일대응에서는 중복과 누락을 함께 확인하세요(12·13·17번 대비).
5. 유리함수의 점근선과 무리함수의 시작점을 먼저 찾은 뒤 사분면, 절댓값 교점, 구간의 최대·최소로 확장하세요(3·7·8·10·15·22번 대비).
6. 대응 반복은 화살표로, 역함수 교점은 그래프와 치환으로 정리하세요. 경우 분류의 기준과 제외하는 이유를 짧게 적은 뒤 실제 시간 안에 다시 풀어 보세요(18·21번 대비).