문현고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

문현고 2학년 2학기 기말 기하는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 공간도형과 공간좌표입니다. 직선과 평면의 위치 관계, 삼수선의 정리, 정사영의 넓이, 이면각을 다루고 좌표를 이용한 거리와 구의 성질로 확장됩니다.

공간도형에서는 입체 그림을 그대로 계산하기보다 필요한 평면을 골라 보는 일이 중요합니다. 꼬인 두 직선은 평행한 직선으로 옮기고, 이면각은 교선에 수직인 선분들이 만드는 각으로 나타내야 합니다. 그림에서 비슷하게 보이는 각을 선택하는 습관은 경계해야 합니다.

공간좌표에서는 거리 공식을 쓰기 전에 점이 놓인 축이나 평면의 조건을 반영해야 합니다. 구의 단면과 최단거리도 좌표 전개만 반복하기보다 중심, 수선의 발, 반지름을 먼저 표시하면 관계가 드러납니다. 전 문항 객관식이지만 중간 관계를 짧게 적어 검산할 수 있게 하세요.

난이도 분포 — 쉬움과 보통이 섞인 객관식 구성

초반 1·2번은 보통이며 입체에서 위치 관계를 분류하는 문항입니다. 이어지는 3~6번은 쉬움으로 분류되어 있습니다. 앞 문항에서 개수를 세느라 시간이 늘어지면 표시하고 기본 성질과 삼수선의 정리를 묻는 문항부터 처리하는 운영이 가능합니다.

중반에는 7·8번의 각, 11번의 이면각, 12번의 그림자 넓이가 보통으로 배치되어 있습니다. 각각 필요한 보조선과 정사영의 기준을 잡아야 합니다. 쉬움인 9·10번도 넓이를 구하는 대상과 투영된 도형을 구별해야 하므로 공식만 떠올리고 바로 대입하지 마세요.

후반에도 13·14·18번은 쉬움입니다. 보통인 15~17번과 19·20번은 식 정리와 기하 해석을 연결합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 어려움 문항이 없다는 이유로 조건 확인을 생략하면 기본형에서도 실수가 생길 수 있습니다.

출제 단원 — 공간도형의 비중과 좌표 해석의 연결

공간도형은 1~12번으로 전체의 60%입니다. 위치 관계와 평면의 결정 조건을 묻는 개념 판단부터 수선, 각, 넓이 계산까지 다룹니다. 앞부분의 성질을 말로 정확히 설명하는 연습이 뒤의 보조선 선택에도 도움이 됩니다. 특히 직선이 평면에 포함되는 경우와 평행한 경우를 구별하세요.

공간좌표는 13~20번으로 전체의 40%입니다. 거리와 중점, 무게중심에서 출발해 거리비의 자취, 대칭을 이용한 최단거리, 구의 단면으로 이어집니다. 좌표를 구하는 연습과 함께 좌표가 나타내는 기하적 의미를 설명하는 연습이 필요합니다.

단원 사이의 공통 연결점은 정사영과 직각삼각형입니다. 7번과 17번은 표현 방식은 달라도 직선과 평면이 이루는 각을 다룹니다. 6·9번에서 수선 관계를 찾는 연습은 19·20번에서 공간의 거리를 평면의 거리와 연결하는 데에도 활용할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목이 달라 구성 중심으로 확인

작년 같은 학년·학기·시험의 자료는 수학II이고 이번은 기하입니다. 과목이 다르며 자료의 단원도 겹치지 않으므로 단원별 비중을 직접 비교해 출제 경향의 변화로 해석할 수 없습니다. 표는 문항 구성과 자동 분류 결과의 차이를 확인하는 용도로 보세요.

자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 이번 0문항으로 줄고 쉬움은 2문항에서 9문항으로 늘었습니다. 작년 어려움은 12번과 15~18번에 있었으나 이번에는 해당 분류가 없습니다. 다만 서로 다른 과목이므로 이 수치만으로 실제 시험이 얼마나 쉬워졌다고 단정할 수는 없습니다.

작년의 서술·단답형 구성과 달리 이번에는 모두 객관식입니다. 다음 시험 준비는 이번 기하의 수직·정사영·거리 관계를 기준으로 하세요. 답안 형식과 별개로 보조선의 근거와 최소가 성립하는 조건을 적어 보는 연습은 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

선정한 문항은 모두 자동 분류 기준 보통입니다. 여기서 분석상 고난도 문항이라는 표현은 보조 도형과 관계 설정을 주의해서 볼 대상으로 선정했다는 뜻이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 기준 평면과 직각을 정하는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 성질과 계산 경로가 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 1·2번에서 분류가 길어지면 표시하고 뒤 문항을 확인할 수 있습니다. 13·14번과 18번처럼 후반에도 쉬움으로 분류된 문제가 있으므로 번호만 보고 시간을 오래 남겨 둘 대상으로 판단하지 마세요.

각을 다루는 문항에서는 보조선을 그리는 시간을 확보하세요. 7·17번은 직선과 정사영이 만드는 각, 11번은 교선에 수직인 선분들이 만드는 각을 표시해야 합니다. 10·12번은 어느 도형을 어느 평면에 투영하는지 적어 두면 넓이 관계의 방향을 다시 확인하기 쉽습니다.

마지막 검토는 계산 전체를 반복하기보다 조건을 살피세요. 2번은 면과 평면의 차이, 16번은 대칭이동한 좌표의 부호와 등호 조건, 19번은 단면 반지름을 점검해야 합니다. 18·20번은 점과 구 또는 원의 위치 관계를 확인한 뒤 최단거리의 표현을 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평면의 결정 조건과 위치 관계부터 정리하세요. 성립하는 명제에는 근거를, 성립하지 않는 명제에는 입체 반례를 그려 보세요(1·2·3·4·5번 대비).
2. 삼수선의 정리에서 수선의 발을 구별하세요. 평면 안의 직각을 확보한 뒤 길이와 넓이를 연결하는 연습을 하세요(6·9번 대비).
3. 공간의 각은 평면의 각으로 나타내는 단계부터 연습하세요. 평행이동, 정사영, 교선에 수직인 단면을 구분해 적용하세요(7·8·11·17번 대비).
4. 정사영의 넓이는 원래 도형과 투영된 도형을 표시하고 관계를 세우세요. 그림자 유형은 광선에 수직인 공통 평면을 그려 보세요(10·12번 대비).
5. 거리·중점·무게중심의 좌표 계산을 익히고, 거리비 조건을 완전제곱으로 정리하는 유형까지 확장하세요(13·14·15번 대비).
6. 최단거리와 구의 단면을 묶어 복습하세요. 대칭이나 수선의 발로 기준점을 정하고, 위치 관계와 최소가 성립하는 조건까지 설명하세요(16·18·19·20번 대비).