보인고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

보인고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 평면벡터, 공간도형, 공간좌표입니다. 평면에서의 벡터 연산과 내적을 바탕으로 공간의 거리와 각, 구와 정사영을 함께 다루는 시험입니다.

초반에는 내적의 정의, 위치벡터의 차, 직선의 위치 관계처럼 개념을 곧바로 적용하는 문항이 있습니다. 이후에는 같은 내적도 넓이나 최댓값·최솟값을 판단하는 도구로 쓰입니다. 공식을 외우는 데서 그치지 않고 조건에 맞는 표현을 고르는 연습이 필요합니다.

전 문항이 객관식이지만 도형을 해석하는 중간 과정은 생략하기 어렵습니다. 공간도형에서는 수직이 성립하는 근거를 찾고, 공간좌표에서는 식으로 구한 후보가 실제 도형 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 도형 스케치와 좌표 계산을 서로 점검하는 수단으로 활용하세요.

난이도 분포 — 중간의 기본형과 후반의 연속된 어려움

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·3·4·6·10번입니다. 내적, 벡터 성분 비교, 직선의 관계, 구의 접촉 조건을 정확하게 적용하는 구간입니다. 쉬움으로 분류되어도 벡터 방향이나 좌표 부호를 놓치면 계산 전체가 달라지므로 짧은 검산을 습관화하세요.

보통 문항은 5·7·11·12번입니다. 공간의 삼각형 넓이를 거리와 내적으로 구하거나, 삼수선의 정리로 점과 직선 사이의 거리를 찾는 연결 과정이 있습니다. 방향벡터와 법선벡터를 구별하는 12번까지 확보하면 후반 문제에 사용할 시간을 남길 수 있습니다.

8·9번이 어려움으로 등장한 뒤 10~12번에서 기본 개념을 적용할 기회가 다시 나옵니다. 13~20번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수 없지만, 번호 순서만 따라 풀면 후반의 접근 가능한 문항을 살피지 못할 수 있습니다.

출제 단원 — 평면벡터에서 공간의 정사영까지

평면벡터는 8문항으로 가장 많습니다. 1·4·6번의 내적 계산과 수직 조건을 출발점으로, 13번은 위치벡터를 내분과 넓이 관계로 바꾸고 14번은 내적을 정사영으로 해석합니다. 18번은 벡터의 크기 조건에서 내적과 삼각형 넓이를 연결하므로 같은 정의를 여러 형태로 쓰는 연습이 효과적입니다.

공간도형은 7문항입니다. 7·11번의 삼수선의 정리와 8번의 이면각은 수선을 어디에 그어야 하는지가 핵심입니다. 17·19·20번은 정사영의 넓이를 다루지만 접근은 서로 다릅니다. 원래 도형의 넓이와 평면 사이의 각을 각각 구분해 정리하세요.

공간좌표는 5문항이며 9·15·16번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 대칭이동으로 꺾인 경로를 펴고, 거리의 비를 구의 방정식으로 바꾸며, 정사면체의 같은 모서리 조건으로 미지 좌표를 결정합니다. 좌표를 도입한 이유와 계산 후 확인할 도형 조건을 함께 적어 두세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 기하 과목에서 늘어난 공간좌표 비중

작년과 올해는 모두 기하이며 서술·단답형은 없습니다. 총 문항은 18문항에서 20문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 10문항으로 늘고, 보통은 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 쉬움은 5문항에서 6문항으로 늘었으므로 초반 기본형을 빠르게 처리하는 연습도 여전히 필요합니다.

평면벡터가 가장 많은 단원이라는 점은 같지만 문항 수는 9문항에서 8문항으로 바뀌었습니다. 공간도형은 6문항에서 7문항, 공간좌표는 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 다음 시험 대비에서는 벡터 기본기를 유지하면서 거리 조건을 좌표식으로 바꾸는 연습을 함께 늘려 보세요.

작년 어려움은 10·12·13·14·15·17·18번이고 올해는 8·9번에서 먼저 나타난 뒤 13~20번에 이어집니다. 작년에는 16번이 보통이었지만 올해 후반에는 어려움이 연속됩니다. 순서대로 완주하는 연습에 더해, 전체를 훑고 접근법이 보이는 문제를 먼저 고르는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 이전에 적절한 보조 도형을 정해야 합니다. 풀이를 복습할 때도 계산 결과보다 대칭점이나 단면을 택한 이유를 먼저 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 내적의 기본 계산과 직선의 관계처럼 출발점이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 8·9번에서 도형 설정이 길어지면 표시하고 10~12번을 확인하는 운영을 권합니다. 후반에도 18번처럼 익숙한 벡터 전개로 접근할 수 있는지 살펴보고 재도전 순서를 정하세요.

공간도형은 수선을 표시하는 시간을 아끼지 마세요. 7·11번에서는 평면에 수직인 선과 평면 안의 수선을 구별해야 합니다. 8·19번은 교선에 수직인 선분으로 각을 정하고, 17·20번은 원래 영역과 정사영된 영역을 구별해야 계산할 넓이를 잘못 선택하지 않습니다.

마지막 검토에서는 부호와 범위를 중심으로 보세요. 4번은 직선이 이루는 예각 조건, 9번은 평면과 만나는 순서, 14번은 부호 있는 정사영이 중요합니다. 16번의 좌표 후보는 여러 모서리 조건에 다시 대입하고, 20번의 매개변수는 선분의 범위에 맞는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 차와 내적의 정의를 먼저 정리하세요. 각의 부호와 성분 계산을 짧게 검산하는 습관을 들이세요(1·2·4·6번 대비).
2. 방향벡터와 법선벡터로 직선의 방정식을 각각 세워 보세요. 교점을 얻은 뒤 원래 두 직선 위의 점인지 확인하세요(12번 대비).
3. 삼수선의 정리와 이면각을 연결해 연습하세요. 수선의 발과 교선에 수직인 단면을 직접 그려 설명하세요(7·8·11번 대비).
4. 내적을 넓이와 정사영으로 해석하세요. 내분점의 위치벡터, 꼭짓점 비교, 벡터 합의 크기 전개를 이어서 연습하세요(5·13·14·18번 대비).
5. 공간좌표의 거리 조건을 식으로 바꾸세요. 대칭이동의 등호 조건, 구의 완전제곱, 같은 모서리에서 나온 후보 검증을 묶어 복습하세요(9·10·15·16번 대비).
6. 정사영 넓이는 원래 넓이와 평면 사이의 각을 따로 구하세요. 영역의 경계와 단면을 표시한 뒤 합치는 순서로 연습하세요(17·19·20번 대비).