동북고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

동북고 2학년 2학기 기말 기하는 어떤 시험인가

동북고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 공간도형과 공간좌표입니다. 직선과 평면의 수직 관계에서 출발해 이면각과 정사영, 공간의 점 사이 거리, 구와 좌표평면의 관계로 이어집니다.

초반에는 정의와 공식의 적용 대상을 바르게 고르는지가 중요합니다. 수선과 수선의 발을 구별하고, 좌표축으로의 정사영과 좌표평면에 대한 대칭을 구별해야 합니다. 기본형에서 부호나 각의 기준을 틀리면 이후 응용에서도 같은 오류가 반복될 수 있습니다.

중후반에는 조건을 그림에 옮기는 과정이 길어집니다. 정삼각형을 이루는 점의 자취, 구의 단면 위 점까지의 최소 거리, 그림자가 만드는 평면의 각처럼 서로 다른 개념을 연결합니다. 모두 객관식이지만 풀이에서는 수직의 근거와 정사영의 방향을 짧게라도 표시하는 편이 안전합니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤에 섞여 나오는 공간 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간인 1~6번은 삼수선의 정리, 수직의 정의, 정사영의 길이, 좌표 변환과 내분·외분을 확인합니다. 다만 3번은 정사면체의 이면각을 나타내는 단면을 찾아야 하므로 분류만 보고 그림 확인을 생략해서는 안 됩니다.

7·8번은 구의 단면과 대칭을 활용한 최소 거리로 넘어갑니다. 9번에서 구의 접촉 조건을 확인한 뒤 10번에서 자취 해석이 등장합니다. 뒤쪽의 16~18번은 자동 분류 기준 보통이므로, 14·15번에서 풀이가 떠오르지 않더라도 다음 구간을 먼저 확인할 가치가 있습니다.

19·20번은 각각 삼수선의 정리와 정사영의 넓이를 다룹니다. 필요한 길이를 직접 구하기 전에 보조선이나 투영할 평면을 정해야 한다는 공통점이 있습니다. 후반 대비는 계산량을 늘리기보다 도형을 다시 그려 관계를 설명하는 방식으로 진행하세요.

출제 단원 — 공간도형의 수선과 정사영, 공간좌표의 거리

공간도형은 11문항으로 가장 많습니다. 수직 관계를 이용해 거리를 구하는 1·17·19번, 각을 해석하는 3·15·16번, 정사영을 사용하는 4·12·18·20번을 연결해 복습하면 좋습니다. 같은 정리를 쓰더라도 구하려는 것이 길이인지 각인지 넓이인지에 따라 보조선이 달라집니다.

공간좌표는 9문항입니다. 좌표를 공식에 대입하는 기본형에서 나아가 거리 조건으로 도형을 파악하는 문항이 포함됩니다. 10번의 자취와 13번의 정삼각형 조건은 등거리 관계를 공유하지만, 전자는 움직이는 점의 도형을 설명하고 후자는 좌표 후보를 조건으로 좁힌다는 차이가 있습니다.

두 단원은 분리해서만 공부하기 어렵습니다. 7·14번의 구의 단면도 중심에서 평면에 내린 수선을 기준으로 보면 직각삼각형의 문제로 바뀝니다. 좌표식으로 계산한 결과가 그림에서 어느 선분에 해당하는지 연결해 두면 단원 사이의 응용을 준비할 수 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 여기서는 풀이 구조를 바탕으로 분석상 고난도 문항으로 살펴봤습니다. 공통점은 원래 공간도형에서 바로 계산하지 않고 수선의 발이나 정사영을 통해 보조 도형을 만든다는 것입니다. 복습할 때는 계산을 다시 하는 것에 더해 그 보조 도형을 선택한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~6번과 9번에서 정의와 공식을 정확히 적용해 시간을 확보하세요. 내분·외분이나 대칭 좌표는 중간 계산을 짧게 적는 편이 부호 실수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 시험 시간이 따로 확인되지 않으므로 고정된 분 단위 목표보다 기본형, 응용형, 재검토 순서로 연습하는 것이 적절합니다.

10번이나 14·15번에서 필요한 보조 도형이 떠오르지 않으면 표시하고 넘어가세요. 뒤의 16·17·18번에도 해결할 수 있는 문항이 남아 있습니다. 다시 돌아올 때는 계산을 무작정 이어가기보다 수선의 발, 교선, 정사영할 평면 중 무엇이 빠졌는지부터 확인하세요.

마지막 점검에서는 8번의 최소 거리에서 등호가 성립하는 위치, 13번의 좌표 대소 조건, 14번에서 거리를 재는 대상이 단면 원이라는 점을 확인하세요. 12·18·20번은 정사영 전후의 넓이를 구별해야 합니다. 모든 각 문제에서는 표시한 각이 직선과 평면의 각인지 두 평면의 각인지 다시 읽어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수직과 좌표 변환의 기본부터 정리하세요. 수선의 발, 대칭이동, 내분·외분에서 변하거나 유지되는 좌표를 말로 설명한 뒤 계산하세요(2·5·6번 대비).
2. 삼수선의 정리를 밑면 그림과 공간 단면으로 나누어 연습하세요. 수직의 근거를 표시하고 밑면의 거리에서 공간의 거리로 이어 가세요(1·17·19번 대비).
3. 이면각과 두 직선의 각을 구별하세요. 공통 모서리나 교선에 수직인 선분을 먼저 찾고, 선택한 평면각이 조건에 맞는지 설명하세요(3·15·16번 대비).
4. 구의 중심·반지름·단면 원을 연결하세요. 접하는 경우와 잘리는 경우를 그림으로 구별하고, 단면 원 위 점까지의 최소 거리로 확장하세요(7·9·14번 대비).
5. 거리 조건을 도형으로 해석하세요. 대칭을 이용한 경로, 정삼각형 꼭짓점의 자취, 좌표 조건의 후보 검토를 각각 연습하세요(8·10·13번 대비).
6. 정사영에서 각과 길이·넓이의 관계를 정리하세요. 투영 전후의 도형을 나란히 그리고, 광선 방향과 평면의 각도 구별하세요(4·11·12·18·20번 대비).