진명여자고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

진명여고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

진명여자고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산에서 출발해 그래프의 연결과 접선의 성질까지 이어집니다.

기본형에서는 식의 정리, 유리화, 접선의 방정식을 정확히 적용해야 합니다. 이후에는 극한 조건으로 함숫값을 거꾸로 추론하거나, 교점 개수로 정의한 함수의 불연속을 다른 함수와의 곱으로 처리하는 방식이 등장합니다. 공식을 아는 것과 조건에 맞는 공식을 고르는 능력을 함께 점검하는 구성입니다.

서술·단답형 뒤에도 객관식 문항이 배치되어 있으므로 번호만으로 형식이나 부담을 예상하기 어렵습니다. 기본 극한과 연속 조건을 먼저 확보한 뒤, 좌우에서 다른 식이 적용되는 문항에 시간을 남기는 연습이 필요합니다. 풀이를 쓸 때는 계산식 앞에 그 식을 세운 이유를 짧게 붙이세요.

난이도 분포 — 중반의 조건 해석과 마지막 객관식

쉬움 문항은 1·3·4·7·17번에 분포합니다. 무한대에서의 극한, 접선, 평균값 정리, 절댓값의 대칭성, 구간별 극한을 다룹니다. 이 문항들도 실제 차수나 접근 방향을 잘못 읽으면 흔들릴 수 있으므로 기본형을 풀 때부터 확인 절차를 일정하게 만드세요.

보통 문항인 2·5·8·18·19번에서는 연속 조건과 미분계수의 정의를 정확히 표현해야 합니다. 특히 18번은 분모의 정의 가능성을, 19번은 극한식이 어떤 지점의 미분계수를 뜻하는지를 먼저 읽는 것이 중요합니다. 복잡한 계산보다 출발 조건을 분명히 하는 데 집중하세요.

자동 분류 기준 어려움은 6번과 9~16번, 20~22번입니다. 중반에는 사잇값 정리, 다항식의 차수, 자연수 조건, 곱의 미분가능성 등 서로 다른 판단이 이어집니다. 난이도 분류는 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없지만, 조건 정리에 시간이 필요한 구간을 파악하는 기준으로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 극한과 미분을 잇는 연속 조건

함수의극한은 기본 계산뿐 아니라 조건에서 다항식의 형태를 결정하는 역할을 합니다. 12·13번은 차수와 계수의 구조를 읽어야 하고, 15번은 분모가 사라지는 경우를 구별해야 합니다. 20번에서는 먼저 도형의 넓이를 변수로 표현해야 하므로 극한 연산 이전의 식 세우기가 관건입니다.

미분계수와도함수에서는 접선의 기하적 의미와 정의를 이용한 극한 해석이 함께 나옵니다. 9·19번처럼 극한을 미분계수로 바꾸는 유형에서 출발해, 16·21번에서는 미분가능성을 위해 연속성과 좌우의 변화율을 함께 확인합니다. 22번은 직선과 다항함수의 차를 인수분해하는 발상이 접선 계산을 줄여 줍니다.

함수의연속은 근호식의 연결, 함수의 합과 차, 분모의 실근 여부, 사잇값 정리 등으로 나뉩니다. 14번의 교점 개수 함수처럼 그래프에서 먼저 정의를 읽어야 하는 유형도 있습니다. 도함수의활용은 4번의 평균값 정리와 10번의 접선 위치 판단을 연결해 학습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 그래프나 기하 조건을 먼저 대수식으로 바꾸어야 계산이 진행됩니다. 풀이를 복습할 때는 긴 계산보다 처음 어떤 점과 인수를 선택했는지를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형이 보이는 문항을 확보하고 조건 정리가 길어지는 문항에 표시를 남기세요. 6번에서 시간이 걸리더라도 뒤의 7·8번을 확인할 필요가 있습니다. 9~16번을 순서대로 모두 끝낸 뒤 나머지를 보려 하기보다, 서술·단답형의 17~19번까지 훑어 접근 가능한 문제를 찾으세요.

서술·단답형에서는 시작 식의 근거를 짧게 정리하세요. 17번은 접근 방향에 따른 식 선택, 18번은 분모가 사라지지 않을 조건, 19번은 미분계수의 정의가 출발점입니다. 20번은 그림에 밑변과 높이를 표시하고 넓이식을 세운 뒤 극한을 처리하세요. 연습에서는 식을 세우는 시간과 정리하는 시간을 구분해 기록하면 보완할 부분이 보입니다.

마지막 검토는 계산을 반복하기보다 조건을 대조하는 데 쓰세요. 4·10번은 열린구간의 범위, 11번은 사잇값 정리의 연속성과 부호, 13번은 지수의 홀짝, 15번은 자연수 제한을 확인하세요. 16·21번은 식이 바뀌는 점에서 연속을 먼저 검사하고 미분가능성을 판단했는지 점검하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 정리부터 복습하세요. 전개 후의 차수, 인수분해, 유리화를 구별하고 식을 약분할 수 있는 이유를 설명하세요(1·5·6번 대비).
2. 구간별 함수의 연결점을 표로 정리하세요. 좌극한·함숫값·우극한을 나란히 적고 함수의 합과 차에서 연속성을 복원하세요(2·8·17·18번 대비).
3. 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습을 하세요. 기준 함숫값과 분모의 남는 인수를 먼저 표시한 뒤 접선의 기울기와 연결하세요(3·7·9·19번 대비).
4. 다항식의 낮은 차수 항과 최고차항을 각각 제한하는 극한을 연습하세요. 치환의 방향, 부등식의 양끝, 자연수 조건에 따른 경우 분류를 함께 확인하세요(12·13·15번 대비).
5. 연속함수의 정리와 접선의 존재 조건을 구간별로 적용하세요. 정리가 보장하는 내용과 별도로 제외해야 할 경우를 구별하세요(4·10·11번 대비).
6. 교점 개수와 절댓값 그래프에서 조사할 지점을 먼저 찾으세요. 연속 조건을 쓴 다음 좌우 미분계수를 비교하는 순서로 풀이를 정리하세요(14·16·21번 대비).
7. 도형과 직선 조건을 식으로 바꾸는 연습을 하세요. 넓이는 밑변과 높이로, 공선 조건은 함수와 직선의 차로 표현한 뒤 계산하세요(20·22번 대비).