중산고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

중산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용입니다. 극값과 최댓값·최솟값, 방정식의 실근 개수, 운동과 넓이를 중심으로 미분과 적분을 연결하는 시험입니다.

초반에는 적분으로 정의된 식의 미분, 극값 조건, 닫힌구간의 최댓값·최솟값처럼 익숙한 출발점이 보입니다. 중반부터는 역함수의 대칭성, 이동 거리, 매개변수에 따른 절댓값 적분으로 확장됩니다. 같은 적분 문제라도 무엇의 부호를 기준으로 구간을 나누는지 구별해야 합니다.

서술·단답형은 마지막 번호에 몰려 있지 않습니다. 15~17번을 지나 객관식이 다시 이어지므로 형식과 난이도를 함께 보며 풀이 순서를 정하세요. 도함수를 구한 뒤 그래프를 그리는 단계, 적분한 뒤 조건에 대조하는 단계까지 수행해야 하는 구성이 특징입니다.

난이도 분포 — 8번부터 이어지는 조건 해석

쉬움 문항인 1·2·4번에서는 적분과 미분의 관계, 극값에서의 도함수 조건, 끝값 비교를 정확히 적용해야 합니다. 보통으로 분류된 3·5·6·7번은 최솟값으로 항등부등식을 해석하거나 운동 방향, 접합 조건, 곱의 미분 구조를 확인하는 문제입니다.

8~14번에서는 넓이와 거리의 의미를 해석하는 작업에 이어 다항함수의 차수와 극한, 매개변수별 구간 분할이 등장합니다. 계산을 오래 했는데도 식이 복잡하다면 처음에 잡은 적분 구간이나 함수의 표현부터 점검할 필요가 있습니다.

15~20번도 모두 어려움으로 분류됩니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 다만 후반에 기본 계산만으로 끝나는 문항을 기대하기 어려우므로, 각 문항의 첫 조건을 해석하는 연습과 풀이를 중단했다가 재개하는 운영을 함께 준비하세요.

출제 단원 — 도함수 활용 중심, 적분에서도 부호 판단

도함수의활용은 극값을 이용한 계수 결정에서 시작해 실근 개수, 도형의 넓이 최적화, 조건으로부터 함수의 형태를 추론하는 문제까지 이어집니다. 15·17번은 극값의 높이와 수평선의 위치를 연결하고, 16번은 도형을 함수로 표현한 뒤 최대를 판단합니다.

정적분은 단순한 원시함수 계산에 머물지 않습니다. 6번에서는 구간별 적분과 미분가능 조건을 연결하며, 12번에서는 적분 관계를 미분하고 다항식의 차수를 비교합니다. 13·14번은 절댓값과 매개변수가 들어간 식을 구간별로 정리해야 합니다.

정적분의활용은 해당 단원 문항 전체가 자동 분류 기준 어려움입니다. 8번의 대칭성, 9·10번의 운동, 11번의 도함수 절댓값 적분, 20번의 곡선과 직선 사이 넓이는 출발점이 다릅니다. 넓이 문제를 한 가지 공식으로 묶기보다 그림과 부호표로 적분식을 세우는 훈련이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항은 줄고 어려움 구간은 앞당겨짐

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 작년의 어려움은 14·15·16·18·20·21·22번에 있었고, 올해는 8~20번에 연속됩니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 줄었다고 해석하기 어렵습니다.

도함수의활용은 작년 7문항에서 올해 9문항으로 늘었고, 정적분과 정적분의활용은 각각 5문항으로 같습니다. 작년에는 부정적분이 5문항이었으며, 올해 분류에는 미분계수와도함수가 1문항 포함됩니다. 단원 명칭의 구성과 별개로 올해 7번처럼 적분과 미분의 구조를 함께 읽는 연습도 필요합니다.

작년의 서술·단답형에는 보통 문항도 있었지만 올해 15~17번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 다음 시험을 준비할 때는 앞부분 계산 속도만 높이기보다, 중반부터 그래프와 부호표를 활용하는 문제를 연속으로 풀어 보세요. 실근 개수와 절댓값 적분의 경계 조건을 설명하는 연습을 함께 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 표현을 바로 계산하기보다 좌표식, 극소 조건, 구간별 함수식으로 다시 표현해야 합니다. 풀이의 출발식을 세운 이유를 설명할 수 있는지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 구조를 정확하게 처리하고, 8번 이후에는 접근이 보이는 문항을 골라 진행하세요. 8~20번이 모두 자동 분류 기준 어려움이므로 번호대로 풀다 오래 막히면 후반 확인 시간이 부족해질 수 있습니다. 계산이 막힌 것인지 조건을 아직 식으로 옮기지 못한 것인지 구별해 재도전 순서를 정하세요.

15~17번을 객관식 뒤의 마지막 단계로만 생각하지 말고 전체를 훑을 때 함께 확인하세요. 15·17번은 극값의 높이와 수평선 위치를 그려 두면 다시 접근하기 쉽고, 16번은 좌표의 범위와 넓이 식을 남겨 두는 것이 도움이 됩니다. 연습할 때도 출발 조건 정리와 실제 계산에 걸리는 시간을 구별해 기록하세요.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 5·10번은 속도가 사라진 뒤 실제로 방향이 바뀌는지, 9번은 변위 대신 이동 거리를 계산했는지 확인해야 합니다. 13·20번에서는 영점이 적분 구간 안에 들어오는 경우를, 15·17번에서는 수평선이 극점에 접하는 경우를 빠뜨리지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 정리하세요. 적분의 위끝에 변수가 있는 식, 접합점 조건, 곱의 미분을 역으로 읽는 식을 구별해 연습하세요(1·6·7번 대비).
2. 도함수의 부호표와 극값·끝값 비교를 익히세요. 항상 성립하는 부등식은 전역 최솟값으로 바꾸는 연습까지 이어 가세요(2·3·4번 대비).
3. 운동은 위치·속도·가속도의 관계를 먼저 쓰세요. 방향 전환, 변위, 이동 거리, 두 점의 만남을 각각 다른 조건으로 표현하세요(5·9·10번 대비).
4. 넓이와 절댓값 적분은 그림과 부호표로 시작하세요. 대칭성 활용과 도함수 부호 분할을 익힌 뒤 매개변수가 있는 적분으로 확장하세요(8·11·13·14·20번 대비).
5. 다항함수의 형태를 조건에서 추론하세요. 차수와 최고차항, 대칭성, 극소에서의 중근, 전 구간 부호 조건을 인수 형태와 연결하세요(12·17·18·19번 대비).
6. 그래프의 실근 개수와 도형 최적화를 마무리하세요. 수평선이 극값에 닿는 경계를 구별하고, 좌표로 넓이를 세운 뒤 변수의 범위를 검토하세요(15·16·17번 대비).