서울세종고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

서울세종고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

서울세종고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험에서는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 정적분, 정적분의 활용이 확인됩니다. 접선과 증가·감소에서 정적분으로 정의된 함수, 넓이와 운동까지 미분과 적분의 주요 활용을 함께 다룹니다.

초반에는 접선의 기울기, 평균값 정리, 정적분의 성질을 바로 적용하는 문항이 있습니다. 그러나 같은 단원에서도 후반으로 가면 부호 조건으로 함수의 인수를 추론하거나, 구간이 움직일 때 근이 포함되는 방식을 해석해야 합니다. 공식을 아는 것과 조건에 맞는 식을 만드는 것을 함께 연습해야 합니다.

정적분 역시 원시함수를 구하는 데서 끝나지 않습니다. 대칭성과 절댓값으로 적분 구간을 정리하고, 적분으로 정의된 함수의 증감을 원래 그래프의 대소 관계에서 읽어야 합니다. 기본 계산을 안정적으로 마친 뒤 그래프를 간단히 그려 해석하는 방식이 이 시험 준비에 적합합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움 문항은 1·3·5~8번입니다. 접선, 평균값 정리, 증가 구간, 정적분의 계산처럼 출발점이 비교적 분명합니다. 다만 적분 구간이 같은지, 대칭 구간인지, 정리에서 요구하는 열린구간에 속하는지 확인하는 절차를 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항도 단순 계산만 요구하지는 않습니다. 2번은 절댓값 그래프의 교점, 4번은 서로 독립적으로 움직이는 입력에 대한 최댓값과 최솟값, 13번은 도형의 닮음을 변화율로 연결합니다. 개념을 적용하기 전에 무엇을 비교하거나 미분할지 정해야 합니다.

10·11번에서 어려움 문항이 나온 뒤 12~15번과 17번에는 보통 문항이 배치됩니다. 한 문항에 오래 머물기보다 뒤의 접근 가능한 문항도 확인하세요. 18~22번의 연속된 어려움 분류는 후반 시간 확보의 필요성을 보여 주며, 자동 분류 기준이 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 그래프 해석

도함수의활용은 접선과 평균값 정리에서 시작해 극값과 근의 개수, 부등식의 성립 조건까지 이어집니다. 특히 10·18번은 근의 구조를 먼저 알아야 함수의 형태가 정리되고, 21번은 매개변수에 따라 극점의 순서가 달라집니다. 도함수를 구한 뒤 부호표로 결론을 설명하는 연습이 중요합니다.

정적분에서는 구간 합치기와 대칭성, 적분으로 주어진 등식의 미분이 반복됩니다. 8·12번은 기준점을 대입해 얻는 정보와 미분해 얻는 정보를 함께 사용해야 합니다. 14·15번은 그래프의 대칭과 절댓값의 부호 처리를 적분 계산보다 먼저 정리하면 풀이가 간결해집니다.

정적분의활용은 운동과 넓이를 다룹니다. 9번의 속도 부호 구분을 20번의 위치 그래프와 방향 전환 해석으로 확장해 보세요. 미분계수와도함수의 19번은 구간별 함수의 연결을 다루므로, 출제 수가 적다는 이유로 연속성과 미분가능성을 뒤로 미루지 않는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 다른 표현으로 바꾸고 경우를 나누는 과정이 길다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위로 확정한 것은 아닙니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 연결점, 극점의 순서, 구간의 끝점을 먼저 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접선과 정적분의 기본 성질을 바로 적용할 수 있는 문항을 안정적으로 처리하세요. 10·11번에서 풀이가 길어지면 표시하고 12~15번도 확인하는 편이 좋습니다. 18번 이후에 어려움 문항이 이어지므로 초반부터 계산 과정을 과하게 늘리지 않도록 연습하세요.

21번은 유일한 서술·단답형이므로 후반에 있다는 이유로 확인을 미루지 마세요. 도함수의 인수 형태를 보고 경우를 나누는 기준부터 적으면 풀이의 뼈대를 확보할 수 있습니다. 연습할 때는 경우 분류에 걸린 시간과 식을 계산한 시간을 따로 확인해 어느 단계가 느린지 점검하세요.

검토할 때는 부호와 경계를 우선하세요. 9·20번은 이동 거리와 위치 변화량, 14·15번은 대칭성과 절댓값, 19번은 연속성과 미분가능성을 구별해야 합니다. 2·22번의 근 개수는 경계에서 달라질 수 있으며, 21번은 극점이 겹치는 경우를 별도로 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선과 평균값 정리의 기본형을 복습하세요. 점의 좌표, 기울기, 정리가 적용되는 구간을 풀이 시작 전에 적어 보세요(1·3번 대비).
2. 도함수의 부호표로 증가·감소와 최댓값·최솟값을 설명하세요. 입력이 독립적인 경우와 매개변수로 극점 순서가 바뀌는 경우를 구별하세요(4·5·10·21번 대비).
3. 정적분 계산 전 구간 합치기, 대칭성, 절댓값의 부호를 확인하세요. 계산을 줄이는 근거를 말로 설명하는 연습도 하세요(6·7·14·15번 대비).
4. 적분 등식은 기준점 대입과 미분을 짝으로 연습하세요. 적분으로 정의된 함수에서는 원래 그래프의 대소를 도함수 부호로 옮겨 보세요(8·12·16번 대비).
5. 운동과 넓이는 부호표나 간단한 그림을 먼저 그리세요. 위치, 속도, 이동 거리와 도형의 길이 변화율을 구별해 식을 세우세요(9·13·17·20번 대비).
6. 함수의 근과 접선, 합성함수, 미분가능성을 결합한 유형을 연습하세요. 인수 구조를 찾고 연결점의 좌우 조건을 확인하세요(11·18·19번 대비).
7. 근 개수 문제는 고정 그래프와 움직이는 구간을 각각 그려 보세요. 경계에서 포함되는 근을 확인한 뒤 조건에 맞는 경우를 정리하세요(2·22번 대비).