서울고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

서울고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분을 이용한 극값과 실근 개수 판단에서 적분으로 정의된 함수, 넓이와 운동 문제까지 연결됩니다.

미분하거나 적분할 식이 바로 보이는 문항과, 그 식을 만들기 위해 조건을 해석해야 하는 문항이 섞여 있습니다. 합성함수에서는 안쪽 함수의 치역을 먼저 구하고, 넓이에서는 교점과 위아래 관계를 먼저 정해야 합니다. 공식을 아는 것에 더해 어떤 구간과 그래프에 적용할지 판단하는 능력이 필요합니다.

서술·단답형에서는 절댓값과 합성함수의 실근 개수, 속도와 가속도의 연결, 대칭 조건을 이용한 정적분이 등장합니다. 최종 계산만 남기기보다 경우를 나눈 기준과 부호 판단의 근거를 적는 연습이 유효합니다. 풀이를 시작하기 전에 주어진 조건이 함수의 모양을 어떻게 제한하는지 표시해 보세요.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 조건 해석과 후반의 연속 부담

쉬움은 1·6번으로, 부정적분의 적분상수와 위치를 미분해 얻는 속도를 확인합니다. 보통인 2·4·16번도 그래프 해석이나 운동의 정지 조건, 교점의 중복을 살펴야 합니다. 난이도 표는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

3번은 모든 실수에서 성립하는 부등식을 최솟값 조건으로 바꾸며, 5번은 극한과 교점 조건을 결합합니다. 초반의 이 문항들에 오래 머물면 뒤의 기본 접근이 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다. 7~15번은 어려움으로 이어지므로 각 문제의 첫 판단이 보이는지 확인한 뒤 풀이 순서를 정하세요.

17~22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 그래프를 나누거나 적분 구간을 정하는 과정이 공통적으로 필요하지만 풀이의 출발점은 서로 다릅니다. 객관식을 전부 끝내야 서술·단답형을 볼 수 있다고 생각하기보다, 전체를 훑어 익숙한 구조부터 처리하는 운영을 연습하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 넓이·운동 해석의 연결

도함수의활용은 극값 계산에만 머물지 않습니다. 5·9·17·18·22번은 그래프와 수평선 또는 직선의 교점을 실근 개수로 읽는 연습과 연결됩니다. 접할 때 생기는 중근을 서로 다른 실근으로 어떻게 세는지, 여러 방정식이 같은 근을 갖는지까지 확인해야 합니다.

정적분의활용에서는 13~16번의 곡선과 직선 또는 두 곡선 사이의 넓이가 이어집니다. 19번의 운동과 20번의 넓이도 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 적분을 나눈다는 공통점이 있습니다. 정적분 값과 실제 넓이·이동 거리를 구별하고, 양의 양으로 합산하는 이유를 설명할 수 있어야 합니다.

정적분의 10~12·21번은 부호, 연속성, 대칭성을 적분 계산과 연결합니다. 부정적분은 1번에 해당하지만, 적분상수를 조건으로 결정하는 기본 원리는 운동 문제에도 쓰입니다. 단원별 계산을 익힌 뒤 그래프의 증감과 적분의 부호를 함께 표시하는 연습으로 확장하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건을 변환하고 경계를 검사하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 앞서 가능한 범위와 경우를 정해야 합니다. 식을 얻은 뒤에는 처음의 조건으로 돌아가 제외할 경우나 빠진 경계가 없는지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4·6번처럼 출발식이 보이는 문항부터 확인하세요. 3·5번에서 판단이 길어지면 표시하고 다음 문항을 살피는 편이 좋습니다. 16번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞의 어려움 문항들에 막혔더라도 따로 확인하세요. 정해진 분 단위 배분보다 자신의 풀이 기록을 바탕으로 재검토 시간을 남기는 연습을 권합니다.

서술·단답형은 조건을 정리할 공간과 시간을 남겨 두세요. 17·18·22번은 수평선의 높이에 따라 실근 개수가 달라지는 경계를, 19·20번은 적분 구간과 부호를 먼저 표시하면 계산의 방향이 분명해집니다. 21번은 식을 모두 복원하기 전에 대칭을 이용해 적분을 묶을 수 있는지 살펴보세요.

검토할 때는 계산을 반복하기보다 조건의 누락을 찾으세요. 7번은 안쪽 함수의 치역, 8번은 도형 변수의 허용 범위, 15번은 바깥 교점의 위치가 중요합니다. 16·22번에서는 중근과 공통근을 구별하고, 19번에서는 가속도를 적분할 때 연결 시각의 속도를 반영했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 기본 관계를 복습하세요. 적분상수를 함수값 조건으로 정하고 위치·속도·가속도를 구별하는 것부터 시작하세요(1·4·6·19번 대비).
2. 도함수의 부호표를 그리고 극값과 전체 최솟값을 구별하세요. 극소점이 여럿인 경우에는 함수값 비교까지 마무리하세요(2·3·7번 대비).
3. 교점 개수는 그래프와 수평선으로 정리하세요. 절댓값을 취할 때 접히는 부분과 접점에서의 중근, 공통근을 따로 표시하세요(5·9·17·18·22번 대비).
4. 기하 조건을 한 변수의 함수로 바꾸는 연습을 하세요. 단면과 닮음으로 길이 관계를 얻은 뒤 허용 범위에서 최대를 확인하세요(8번 대비).
5. 절댓값 적분은 영점과 매개변수 위치부터 나누세요. 연속성으로 부호를 정하고 적분함수의 미분으로 증감을 확인하세요(10·11·12번 대비).
6. 넓이와 이동 거리의 적분식을 직접 세워 보세요. 교점과 방향 전환 지점에서 구간을 나눈 뒤 대칭성으로 계산을 줄일 수 있는지 확인하세요(13·14·15·16·19·20·21번 대비).