진명여자고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

진명여자고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

진명여자고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 삼각함수활용, 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 삼각형의 길이와 넓이부터 합의 변형, 점화식과 귀납적 증명까지 다루므로 도형과 수열을 함께 준비해야 합니다.

삼각함수활용에서는 사인법칙과 코사인법칙을 구분해 외우는 데서 더 나아가야 합니다. 넓이로 높이의 비를 변의 비로 바꾸거나, 인접한 삼각형의 식을 연결하는 과정이 나옵니다. 어떤 삼각형에 어떤 각과 변을 대응시킬지 정리하는 능력이 계산의 출발점입니다.

수열에서는 합 공식을 적용할 형태를 만드는 과정이 중요합니다. 유리화와 부분분수, 교대로 부호가 바뀌는 합, 정수 조건이 붙은 공차와 공비를 다룹니다. 서술·단답형도 같은 부담으로 묶기 어렵습니다. 17번은 점화식의 순차 계산, 18번은 합에서 일반항 복원, 22번은 함수와 등비수열의 조건 결합을 요구합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 17번이며, 보통은 1~6번과 8·10·18번입니다. 초반에는 코사인법칙, 등차중항, 등비수열과 합의 성질을 정확히 적용해야 합니다. 특히 2번의 중첩된 합과 8번의 근과 계수의 관계는 기호가 많아 보여도 정리 순서를 잡으면 계산 범위를 줄일 수 있습니다.

7·9번에서 어려움이 먼저 나오고 11~16번에 연속됩니다. 삼각형의 보조 관계를 찾는 문제에서 정수 조건과 로그가 결합된 수열 문제로 바뀌므로, 한 가지 풀이 방식에만 머물지 않는 전환이 필요합니다. 중간에 막힌 문항을 표시하고 접근 가능한 뒤 문항을 확인하세요.

19~22번도 자동 분류 기준 어려움입니다. 다만 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 순위를 뜻하지는 않습니다. 19번은 내각 조건의 해석, 20번은 귀납 가정의 적용, 21번은 여러 삼각형의 연결, 22번은 정수 조건의 변환처럼 서로 다른 준비가 필요합니다.

출제 단원 — 삼각함수활용의 비중과 수열의 조건 처리

삼각함수활용은 1·5번의 기본 계산에서 11~14번과 19·21번의 복합 관계로 이어집니다. 외접원의 크기를 이용해 도형의 실제 크기를 정하거나, 같은 넓이를 여러 밑변과 높이로 표현하는 접근이 중요합니다. 공식 선택 전에 변의 비만 필요한지 실제 길이까지 필요한지 구분해 보세요.

등차등비수열은 3·4·9·15·18·22번입니다. 일반항과 합의 기본형 외에 공비의 후보를 부등식으로 걸러 내거나, 절댓값을 경우별로 풀고 정수 조건을 적용합니다. 15·22번을 대비할 때는 가능한 후보를 얻는 과정과 후보가 원래 조건을 만족하는지 확인하는 과정을 나누어 적으세요.

수열의합은 2·6·7·8·16번으로, 합을 다항식으로 정리하는 유형과 항끼리 소거하는 유형을 함께 다룹니다. 수학적귀납법의 10·17·20번에서는 도형의 증가량, 점화식의 대입, 증명의 귀납 단계를 구분해야 합니다. 단원 이름만 보고 모두 증명 문제로 생각하지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 앞 단계에서 얻은 관계를 다음 조건에 다시 적용해야 한다는 것입니다. 풀이 중간마다 현재 남은 후보와 아직 사용하지 않은 조건을 적어 두면 같은 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확히 처리하고 7·9번에서 식의 정리가 길어지면 표시해 두세요. 11~16번을 모두 해결한 뒤에만 다음으로 넘어가려 하지 말고 17·18번도 확인하세요. 문항 번호와 응답 형식만으로 풀이 시간을 정하지 말고, 전체를 훑으며 출발 아이디어가 보이는 문제를 먼저 확보하는 연습이 좋습니다.

삼각형 문제는 계산 전에 변과 각의 대응, 보각 관계, 내각의 범위를 그림에 표시하세요. 12번은 사인값에서 코사인값으로 넘어갈 때 각의 범위가 부호를 결정하고, 13번은 둔각이 있다는 조건 때문에 수선의 발을 무조건 변 위에 놓으면 안 됩니다. 21번에서는 중점과 내분점의 순서를 먼저 확인해야 선분의 합과 차를 바르게 쓸 수 있습니다.

수열 문제는 합의 시작과 끝, 일반항의 적용 범위를 마지막에 검토하세요. 8번은 소거 뒤 남는 경계 항, 16번은 함수의 정의가 달라지는 첫째항, 18번은 합의 차로 구한 식이 첫째항에도 맞는지가 중요합니다. 15·22번은 후보를 구한 뒤 정수 조건과 허용 범위를 다시 대조하는 검토 시간을 남겨 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 코사인법칙과 넓이 공식을 기본 도형에 적용하세요. 미지의 길이를 구한 뒤 양수 조건을 확인하고, 어느 각이 끼인각인지 표시하세요(1·5번 대비).
2. 사인법칙과 외접원 관계를 연결하세요. 넓이·높이의 비를 변의 비로 옮기는 문제와 보각이 생기는 도형을 함께 연습하세요(11·12·13·14·19·21번 대비).
3. 등차중항과 등비수열의 일반항·합을 정리하세요. 교대 부호와 절댓값 조건으로 공비의 후보를 거르는 풀이까지 확장하세요(3·4·9번 대비).
4. 합의 변형을 유형별로 연습하세요. 중첩된 합의 계산 순서, 다항식의 합, 유리화와 부분분수의 소거 경계를 직접 표시하세요(2·6·7·8번 대비).
5. 수열의 정의와 적용 범위를 점검하세요. 합에서 일반항을 복원할 때 첫째항을 따로 확인하고, 조건별 함수에서는 예외 항을 분리하세요(16·18번 대비).
6. 점화식과 귀납법을 구별해 연습하세요. 도형의 증가량을 식으로 쓰고, 증명에서는 새로 추가되는 항과 귀납 가정의 사용 위치를 설명하세요(10·17·20번 대비).
7. 조건 분류 문제는 후보 검증표를 만들어 마무리하세요. 절댓값의 부호 분기와 공비의 분모 조건을 정리한 뒤 원래 제한에 대조하세요(15·22번 대비).