상산고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

상산고 고2 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

상산고등학교는 전주시에 있는 학교입니다. 이 시험은 삼각형에 사인법칙과 코사인법칙을 적용하는 내용부터 등차·등비수열, 여러 가지 수열의 합, 수학적귀납법까지 다룹니다. 삼각함수의 활용과 수열을 각각 독립적으로 공부하되, 각 단원 안에서 개념을 연결할 수 있어야 합니다.

총 23문항 중 객관식은 13번뿐입니다. 나머지는 서술·단답형이므로 선택지를 통한 추정보다 조건에서 필요한 식을 직접 만드는 연습이 중요합니다. 다만 이 형식 분류만으로 모든 문항이 긴 증명을 요구한다고 볼 수는 없습니다. 짧은 계산형과 증명 흐름을 읽는 유형을 구별해 준비하세요.

초반에는 넓이 공식, 코사인법칙, 수열의 일반항과 합의 성질을 확인합니다. 후반에는 정수 조건, 절댓값, 점화식의 역추적, 원과 입체도형 해석이 더해집니다. 공식을 아는 데서 멈추지 않고 어떤 조건이 풀이의 방향을 정하는지 설명할 수 있어야 하는 시험입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1·3·4번은 기본 공식을 정확히 적용하면 접근할 수 있는 문항입니다. 이 구간에서는 새로운 풀이를 찾기보다 각과 대변의 대응, 시그마 안의 상수항 처리를 확인하면서 계산을 끝내는 편이 좋습니다.

보통 문항에서도 조건 확인은 필요합니다. 7번은 등비수열의 합 공식을 쓰기 전 공비의 예외를 살펴야 하고, 11번은 부호와 자연수 조건을 함께 해석해야 합니다. 보통이라는 분류를 단순 대입형이라는 뜻으로 받아들이면 검산할 지점을 놓칠 수 있습니다.

10번은 외각의 이등분선을 해석하는 첫 고비입니다. 이후 11~13번에서 다시 기본 관계를 정리할 수 있지만 14~23번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 후반으로 갈수록 쉬워질 것이라고 기대하기보다, 접근 가능한 문항을 먼저 확보하고 남은 문항에 돌아오는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 삼각함수활용과 등차등비수열이 중심

삼각함수활용은 기초적인 넓이와 코사인법칙부터 외각의 이등분선, 둔각삼각형, 원뿔 전개도, 원과 사각형까지 폭이 넓습니다. 기본 문항을 푼 뒤 도형의 형태가 달라져도 필요한 삼각형을 찾아 같은 법칙을 적용하는 연습으로 확장하세요.

등차등비수열은 일반항과 합을 구하는 기본 계산이 바탕입니다. 여기에 공비의 범위, 항의 부호, 정수 조건이 붙으면서 판단 단계가 늘어납니다. 특히 16·18번은 공식을 세운 뒤 가능한 값의 범위와 실제 존재 여부를 확인해야 풀이가 완성됩니다.

수열의합과 수학적귀납법에서는 식의 모양을 바꾸는 힘이 중요합니다. 합에서 항을 복원하거나, 이웃한 항의 비로 새 수열을 만들거나, 합의 첨자를 바꾸는 과정이 등장합니다. 단원명이 수학적귀납법이어도 모두 증명형은 아니며, 5·19·22번처럼 귀납적으로 정의된 수열을 다루는 문항도 포함됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 서로 다른 판단 단계를 연결해야 한다는 이유로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 중간 계산보다 적용 범위의 확인이 중요합니다. 식을 변형할 때마다 첫째항의 예외, 분기 조건, 도형의 위치 중 무엇을 사용했는지 짧게 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 공식과 일반항을 바로 적용할 수 있는 문항부터 처리하세요. 1·3·4번은 계산의 정확성을 확보할 구간이고, 2·5·6·9번은 수열 관계를 식으로 옮기는 연습이 돼 있다면 접근하기 좋습니다. 10번에서 각 관계가 바로 정리되지 않으면 도형에 확인한 정보만 표시하고 다음 문항으로 이동하세요.

14번 이후에는 접근을 정하는 시간과 실제 계산 시간을 구분하세요. 홀짝을 나눌지, 새 수열을 정의할지, 전개도를 그릴지 결정되지 않은 상태에서 식만 늘리면 시간이 소모됩니다. 전체 풀이를 마치지 못하더라도 조건표나 보조 그림을 남겨 두면 다시 돌아왔을 때 처음부터 읽는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 확인에서는 7번의 공비 예외, 11번의 부호와 자연수 조건, 15번의 둔각 조건, 17번의 첫째항, 22번의 분기 경계를 우선 보세요. 18번은 가능한 정수 후보를 찾는 것과 그 후보에 맞는 자연수 첨자가 실제 존재하는 것을 함께 확인해야 합니다. 시험 시간은 제시돼 있지 않으므로 연습 때 자신의 소요 시간을 기록해 후반 검토 시간을 확보하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 공식을 정확히 적용하세요. 넓이 공식과 코사인법칙에서는 각과 대변의 대응을 표시하고, 시그마에서는 상수항이 반복되는 횟수를 확인하세요(1·3·4번 대비).
2. 등차·등비수열의 항 관계를 일반항으로 바꾸세요. 항의 합과 차, 부분합의 비를 해석한 뒤 공비의 예외와 부호 조건을 점검하는 순서로 연습하세요(2·6·7·9·11번 대비).
3. 시그마의 범위를 먼저 읽으세요. 이중 합에서는 고정되는 변수를 구별하고, 합을 합칠 때에는 중복 항과 홀짝에 따른 끝 항을 따로 표시하세요(8·13·14번 대비).
4. 수열의 변형과 소거를 묶어 연습하세요. 합의 차로 항을 복원한 뒤 첫째항을 확인하고, 항의 비로 새 수열을 정의해 분수식을 정리하세요(17·19번 대비).
5. 경우를 나누는 기준을 표로 정리하세요. 절댓값의 부호와 정수 범위, 자연수 첨자의 존재, 점화식의 분기 조건을 각각 검산 항목으로 만드세요(16·18·22번 대비).
6. 복합 도형과 증명 흐름을 따로 복습하세요. 도형은 각과 길이의 관계를 먼저 표시하고, 귀납법은 가정을 적용할 합의 형태를 찾아 첨자와 부호를 맞추세요(10·12·15·20·21·23번 대비).