진명여자고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

진명여자고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

진명여자고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 시험은 미분계수와 도함수의 기본 개념부터 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용까지 다룹니다. 미분과 적분을 따로 계산하는 연습에 더해 두 개념을 연결하는 준비가 필요합니다.

시험의 특징은 함수의 모양을 조건에서 복원하는 과정입니다. 증가·감소로 도함수의 인수를 정하거나, 적분으로 정의된 함수를 미분해 원래 함수의 정보를 찾습니다. 식을 구한 뒤에도 교점 개수나 극값 조건을 확인해야 하므로 계산을 끝낸 시점이 풀이의 끝은 아닙니다.

서술·단답형은 17번의 항상 성립하는 부등식, 18번의 정적분을 포함한 등식, 19번의 넓이, 20번의 속도와 거리로 구성됩니다. 마지막 객관식까지 살펴본 뒤 풀이 순서를 정하면, 중간의 어려운 문항 때문에 접근 가능한 문항을 놓치는 일을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 어려움 문항

쉬움 구간은 한곳에 모여 있지 않습니다. 초반의 1·2·4번뿐 아니라 서술·단답형 18번도 포함됩니다. 앞번호부터 난도가 일정하게 올라간다고 생각하기보다, 적분상수를 정하거나 일정한 적분값을 상수로 치환하는 기본 구조를 먼저 찾아야 합니다.

보통 문항에서는 계산의 정확성에 개념 판별이 더해집니다. 3번은 정리의 가정과 결론을 구분하고, 7번은 수평선과 삼차함수의 교점을 극값으로 해석합니다. 17번은 최솟값을 찾은 뒤에도 엄격한 부등호와 정수 조건을 남겨 두어야 합니다.

11~16번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 최적화, 운동, 명제 판정, 정수근, 절댓값과 매개변수가 이어지므로 같은 풀이를 반복할 수 없는 구간입니다. 각 문항에서 필요한 판단 기준을 짧게 적고, 기준이 잡히지 않는 문항은 재도전 대상으로 표시하세요.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 함수의 증감뿐 아니라 실근 개수와 매개변수 조건까지 포함합니다. 특히 14~16번은 미분으로 얻은 그래프 정보와 대수적 조건을 함께 사용합니다. 도함수가 영이 되는 지점만 찾는 연습에서 나아가, 그 지점에서 부호가 변하는지까지 설명해야 합니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동이 함께 나옵니다. 10·19번은 적분 구간과 부호를 정하는 기본 연결을, 12·13번은 위치변화량과 이동 거리의 의미를 다룹니다. 21번은 대칭성과 적분 방향까지 고려해야 하므로 그림에서 넓이가 같아 보인다는 이유만으로 식을 세우면 위험합니다.

정적분과 부정적분에서도 단순 계산만 출제된 것은 아닙니다. 6번은 주기성과 평행이동, 8번은 적분 관계식의 미분과 극한 조건, 22번은 대칭 구간 적분과 극값을 결합합니다. 기본 공식을 복습한 뒤 조건을 어느 순서로 사용할지 결정하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 어려움 비율과 단원 구성

같은 2023학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 서울 지역 학교와 견주면, 진명여자고의 문항 수는 22문항으로 지역 평균 21.2문항보다 많습니다. 서술·단답형은 4문항으로 평균 3.9문항과 가깝습니다. 형식 구성보다 어려운 조건 해석의 비중에 주목할 시험입니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 55%로 지역 평균 31%보다 높고, 11개교 중 1위입니다. 덕수고등학교와 방산고등학교는 정적분이 가장 많은 단원이며, 나머지 학교는 이 시험처럼 도함수의활용이 중심입니다. 중심 단원이 같더라도 주기성, 절댓값, 정수근처럼 함께 쓰는 조건에 따라 준비할 내용이 달라집니다.

따라서 진명여자고 학생은 미분의 기본 계산을 마친 뒤 그래프와 방정식의 실근 개수를 연결하는 연습을 충분히 해야 합니다. 적분 역시 넓이 계산에 그치지 말고, 적분 등식에서 함수를 복원하거나 운동 조건을 판단하는 유형까지 이어서 공부하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들의 공통점은 계산 결과를 다시 조건에 대조해야 한다는 점입니다. 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 분석상 고난도 문항으로, 이용자 투표에 따른 순위를 뜻하지 않습니다. 풀이 후에는 경우의 경계, 중복된 근, 제외할 후보를 별도로 표시하며 복습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 관계가 바로 보이는 1·2·4번과 18번을 확보하고, 5·10·17·19번처럼 표준 풀이가 있는 문항을 이어가세요. 6번이나 8번에서 조건 해석이 길어지면 사용한 조건을 표시하고 넘어가면 됩니다. 앞쪽에서 시간을 모두 쓰지 않도록 마지막 문항까지 살펴보는 시간을 남겨 두세요.

11~16번을 풀 때는 계산 전에 도구를 정하는 것이 좋습니다. 근의 순서, 증감표, 인수분해, 판별식 가운데 무엇을 쓸지 정리하세요. 서술·단답형에서는 17번의 최솟값 근거와 20번의 시각별 거리 조건처럼 판단 과정을 남겨, 검산할 때 출발점을 다시 찾을 수 있게 하세요.

조건 확인은 문항마다 달라야 합니다. 3번은 정리의 가정, 12·20번은 시간의 범위, 15·16번은 중근과 공통근, 17번은 엄격한 부등호를 확인하세요. 넓이는 양수로 계산하고 위치변화량은 부호를 유지해야 하며, 21번의 대칭성도 적분 방향을 함께 볼 때 사용할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분·적분의 기본 관계를 정리하세요. 적분상수, 평균변화율, 상수인 정적분을 구별해 계산합니다(1·2·18번 대비).
2. 정리의 가정과 반례를 복습하세요. 극값과 미분가능성, 속도의 부호와 평균값 정리의 연결을 문장으로 설명합니다(3·13번 대비).
3. 도함수의 부호에서 전역 최솟값과 극값을 구하고 수평선의 교점 개수로 연결하세요. 부등호 조건도 끝까지 유지합니다(5·7·9·17번 대비).
4. 정적분의 부호와 구간 분할을 연습하세요. 넓이, 위치변화량, 이동 거리를 각각 어떤 식으로 나타내는지 먼저 씁니다(4·10·12·19·20번 대비).
5. 매개변수별 경우를 표로 정리하세요. 정수근, 중근, 공통근, 극점의 구간 포함 여부를 구분해 후보를 검증합니다(11·14·15·16번 대비).
6. 주기성과 대칭성을 적분에 적용하세요. 적분 등식을 미분해 얻은 정보와 남는 구간 또는 계수 조건을 차례로 연결합니다(6·8·21·22번 대비).