고색고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

고색고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

고색고등학교는 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 평면좌표, 이차함수, 직선의방정식, 여러가지부등식, 이차방정식입니다. 방정식과 부등식의 대수적 조건을 그래프 및 좌표의 위치 관계로 해석하는 능력이 두루 필요합니다.

초반에는 거리, 연립일차부등식, 판별식, 사차방정식의 실근처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 이후 외분점과 직선의 관계, 각의 이등분선과 내분점, 수직 조건과 거리 조건처럼 서로 다른 개념을 연결하는 단계로 넘어갑니다. 공식을 아는 데서 그치지 않고 어떤 순서로 적용할지 정해야 합니다.

후반은 인수분해나 치환으로 문제를 단순화한 뒤 추가 조건을 검사하는 구성이 눈에 띕니다. 실근이 존재하는 것과 서로 다른 실근을 갖는 것은 구별해야 하며, 함숫값을 치환했다면 원래 그래프에서 가능한 값인지도 확인해야 합니다. 서술·단답형인 22번에서는 부호 판단과 근의 위치 조건을 근거로 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 12번부터 이어지는 조건 해석

1~5번은 자동 분류 기준 쉬움에 해당합니다. 다만 3번의 판별식과 그래프의 관계, 5번의 모든 실수에 대한 부등식 조건은 부호와 경계의 의미를 정확히 알아야 합니다. 익숙한 공식이라도 엄격한 부등호인지, 등호가 허용되는지 확인하는 습관이 필요합니다.

6~11번은 보통 구간입니다. 외분점의 좌표를 직선에 대입하거나, 수직인 직선을 정한 뒤 거리 조건을 적용하는 식으로 풀이 단계가 연결됩니다. 이 구간에서 계산을 안정적으로 마치면 후반에 필요한 시간을 확보할 수 있습니다. 특히 8번에서는 인수로 나눈 경우 중 하나를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

12~22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 전체의 절반이 이 구간에 있으므로 객관식 마지막까지 순서대로 오래 붙잡는 운영은 부담이 될 수 있습니다. 이 분류를 실제 체감 난도로 단정할 수는 없지만, 조건의 수와 검토 단계가 늘어나는 구간이라는 점은 학습 계획에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 방정식과 좌표·그래프의 연결

가장 많은 여러가지방정식은 기본 인수분해부터 복이차방정식, 허근의 성질, 함수식을 치환한 방정식까지 범위가 넓습니다. 15번은 치환한 근의 부호를, 16번은 허근이 만족하는 관계를, 17번은 함숫값에 대응하는 그래프의 교점을 살펴야 합니다. 고차식을 무조건 전개하기보다 구조를 먼저 보는 연습이 효율적입니다.

평면좌표와 직선의방정식은 공식의 연결이 중요합니다. 10번은 각의 이등분선으로 내분비를 얻고, 20번은 무게중심으로 좌표의 합을 정리합니다. 직선에서는 평행·수직에서 출발해 14번의 삼각형 성립 여부, 21번의 교점과 거리 조건으로 확장됩니다. 그림에서 얻은 관계를 좌표식에 정확히 대응시키세요.

이차함수는 11번의 고정된 구간에서 최대·최소를 구하는 기본형과 19·22번의 매개변수 조건을 함께 다룹니다. 이차방정식으로 분류된 18번에도 접선과 도형 넓이가 연결되어 있습니다. 단원 이름만 보고 학습을 나누기보다 판별식, 축의 위치, 좌표와 거리라는 공통 개념을 묶어 복습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전 허용 범위를 정하고, 계산이 끝나면 그 범위로 돌아와 후보를 검토해야 풀이가 완성됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확히 마치고 6~11번의 연결 문제를 안정적으로 처리하세요. 이후에는 풀이의 출발점이 보이는 문항부터 접근하는 편이 좋습니다. 시험 시간 자료는 없으므로 고정된 분 단위 계획보다, 연습 때 기본형과 조건 분류형에 걸린 시간을 나누어 기록해 자신의 기준을 만드세요.

후반에서는 긴 계산보다 조건 정리가 막히는 시점을 구별하세요. 15번은 치환 변수의 허용 범위, 17번은 수평선과 그래프의 교점, 19번은 축의 위치를 먼저 적어 두면 방향을 잡기 쉽습니다. 22번을 마지막에 처음 읽지 말고 미리 확인해, 부호 판단과 근의 위치 조건을 설명할 여유를 확보하세요.

검토할 때는 빠진 예외를 찾아보세요. 7·21번은 기울기로 나타낼 수 없는 직선, 13번은 인수 사이에 겹치는 근, 15번은 치환된 근의 부호가 점검 대상입니다. 19번의 후보가 해당 경우의 범위에 드는지, 22번에서 경계의 등호가 허용되는지도 확인하면 계산을 전부 반복하지 않고 핵심 오류를 찾을 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 공통부분과 판별식의 의미를 먼저 복습하세요. 해구간의 끝점과 등호 여부를 수직선 및 그래프로 설명해 보세요(2·3·5·12번 대비).
2. 인수분해와 연립방정식의 경우 나누기를 연습하세요. 각 경우의 해를 모은 뒤 실근 여부와 중복을 검사하는 순서를 익히세요(4·8·13번 대비).
3. 복이차방정식과 허근의 관계식을 정리하세요. 치환 변수의 범위를 적고, 높은 거듭제곱은 근이 만족하는 식으로 낮추어 보세요(15·16·17번 대비).
4. 내분·외분·무게중심을 좌표식으로 연결하세요. 도형에서 비를 먼저 얻는 문제와 좌표의 합만으로 처리하는 문제를 구별하세요(1·6·10·20번 대비).
5. 직선의 평행·수직과 거리 조건을 묶어 연습하세요. 기울기로 표현하지 못하는 경우와 세 직선의 공점 조건도 점검하세요(7·9·14·21번 대비).
6. 이차함수의 축과 구간을 그린 뒤 최대·최소를 구하세요. 접점과 근의 위치까지 확장하고, 후보의 범위 확인을 풀이의 마지막 단계로 고정하세요(11·18·19·22번 대비).