돌마고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

돌마고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 순열조합, 행렬입니다. 방정식의 근과 부등식의 해를 구하는 대수적 처리에 경우의 수와 행렬 계산이 함께 출제되어 있습니다.

초반에는 순열과 조합의 기호, 단위행렬, 완전제곱식, 포함·제외 조건처럼 출발점이 비교적 분명한 문항이 놓여 있습니다. 이후에는 식을 바로 전개하기보다 공통부분을 치환하거나, 색의 같고 다름과 배열의 틈을 기준으로 경우를 나누는 판단이 필요합니다.

서술·단답형에서는 연립방정식의 해를 빠짐없이 찾는 과정, 연립부등식의 해가 없는 조건, 연속되지 않는 수를 고르는 방법을 다룹니다. 계산 결과에 이르기까지 왜 해당 경우를 나누고 왜 빠짐없이 세었는지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 중후반 조건 처리

쉬움은 1~6번에 모여 있습니다. 다만 4번의 행렬곱은 순서를 지켜야 하고, 6번의 약수 개수는 짝수 조건을 지수 선택에 반영해야 합니다. 이 구간은 익숙하다는 이유로 검산을 생략하기보다 짧은 확인 절차를 정해 안정적으로 처리하세요.

보통은 7·11번입니다. 7번은 사차방정식의 공통부분을 치환한 뒤 실근을 구분하고, 11번은 절댓값의 구간 분류를 이차부등식의 계수 결정으로 연결합니다. 자동 분류 기준 보통이어도 풀이 단계가 이어지므로 식과 해의 범위를 차례로 기록해야 합니다.

8~10번 이후 11번에서 보통 문항이 다시 등장하고, 12~21번은 모두 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개별 학생의 체감과 같지는 않습니다. 후반에서는 조건을 해석하는 데 드는 시간이 누적될 수 있으므로 막힌 문항을 표시하고 다른 접근 가능한 문항을 살펴보세요.

출제 단원 — 순열조합의 높은 비중과 비인접 조건

순열조합은 대표 선발과 약수 세기에서 색칠, 좌석 배치, 이동 순서, 공의 분배로 확장됩니다. 특히 15·17·21번은 서로 이웃하지 않는 조건을 공통으로 다루지만 무엇을 먼저 배열하고 무엇을 틈에 넣는지가 다릅니다. 공식을 외우는 데서 그치지 말고 셈의 대상과 대응 관계를 설명하세요.

여러가지부등식은 3번의 완전제곱식에서 9번의 제한된 범위, 11번의 절댓값, 12번의 자연수 해 개수, 20번의 교집합 부재로 이어집니다. 실수 범위의 해를 구한 뒤 정수나 자연수 조건을 적용하는 순서를 분명하게 구별해야 합니다.

여러가지방정식에서는 공통부분 치환, 허근의 성질, 입력이 바뀐 다항식의 근, 복이차방정식, 연립방정식을 다룹니다. 근을 직접 구하기 전에 어떤 이차식에 속하는지 확인하면 계산을 줄일 수 있습니다. 행렬은 기본 연산 문항에 배치되지만 곱의 순서와 성분 대응을 확실히 익혀야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 변경을 고려한 공통 단원 점검

작년은 수학(상), 올해는 공통수학1로 과목이 다릅니다. 교육과정 개편에 따른 범위 차이가 있으므로 가장 많은 단원이 달라졌다는 사실을 같은 범위의 출제 성향 변화로 단정하기는 어렵습니다. 공통 단원인 여러가지부등식과 여러가지방정식을 중심으로 비교하는 것이 적절합니다.

여러가지부등식은 작년 4문항에서 올해 5문항으로, 여러가지방정식은 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 13문항으로 늘었지만 쉬움도 늘고 보통은 줄었습니다. 이 수치만으로 동일한 범위에서 전체 난도가 일률적으로 상승했다고 해석하지 마세요.

작년 어려움은 6·10번과 14~20번에 있었고, 올해는 8~10번과 12~21번에 있습니다. 서술·단답형은 양쪽 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 다음 시험은 올해 범위에 맞춰 준비하되, 공통 단원에서는 근의 종류와 부등식의 경계를 설명하는 연습을 이어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 경우의 틀을 정해야 한다는 것입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아니며, 풀이에서는 분류 기준과 누락 여부를 설명하는 데 집중하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확하게 처리해 후반에 쓸 시간을 확보하세요. 8번의 색칠이나 10번의 허근 성질에서 계산이 길어지면 표시하고 11번을 확인하세요. 다만 11번도 단계가 이어지므로 자동 분류 기준만 보고 시간을 짧게 잡기보다 실제 풀이 구조를 살펴야 합니다.

서술·단답형을 마지막까지 보지 않는 운영은 피하세요. 19번은 인수분해로 생긴 관계를, 20번은 근의 대소에 따른 경우를, 21번은 틈과 선택의 대응을 먼저 적어 두면 풀이의 뼈대를 확보할 수 있습니다. 연습할 때는 조건을 읽는 시간과 경우를 세거나 계산하는 시간을 나누어 기록하세요.

검토는 다시 계산하기보다 누락하기 쉬운 조건부터 하세요. 8번은 경계선 공유 여부, 9번은 구간 전체에서의 성립, 12번은 자연수 조건을 확인하세요. 15·18·21번은 구별되는 대상과 구별되지 않는 대상을, 20번은 엄격한 부등호와 등호가 허용되는 부등호를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 곱의 법칙을 복습하세요. 포함·제외 조건과 약수의 지수 선택을 말로 설명한 뒤 식으로 옮기세요(1·5·6·13번 대비).
2. 행렬은 성분 대응과 곱의 순서를 점검하세요. 분배법칙으로 묶기 전후에 행렬의 위치가 유지되는지 확인하세요(2·4번 대비).
3. 방정식은 공통부분 치환과 인수분해를 먼저 연습하세요. 실근·허근의 구분과 근의 변환을 표로 정리하세요(7·10·14·16·19번 대비).
4. 부등식은 구간의 끝점과 교집합을 수직선에 표시하세요. 절댓값 구간 분류에서 자연수 해 개수와 매개변수 경계로 확장하세요(3·9·11·12·20번 대비).
5. 비인접 조건은 먼저 놓을 대상과 틈에 넣을 대상을 구분하세요. 좌석 배치, 이동 순서, 연속되지 않는 수 선택에서 같은 원리가 어떻게 적용되는지 설명하세요(15·17·21번 대비).
6. 색칠과 분배는 경우를 나누는 기준부터 적으세요. 같은 색 여부, 공의 구별 여부, 상자의 수용 제한을 바꾸어 중복과 누락을 점검하세요(8·18번 대비).