강서고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

강서고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

강서고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 계산에서 출발해 접선과 평균값 정리, 극대·극소와 도형의 넓이까지 개념을 연결합니다.

초반에는 유리화, 접선의 기울기, 롤의 정리처럼 풀이의 출발점이 비교적 분명한 문항이 있습니다. 그러나 중반부터는 함수의 식을 바로 계산하기보다 항등식의 차수, 좌우 극한, 교점 개수의 변화 등을 먼저 정리해야 합니다. 공식 암기만으로 끝내기 어려운 구조입니다.

후반의 미분가능성 문항은 절댓값이나 구간 경계에서 함숫값과 기울기를 따로 점검하게 합니다. 서술·단답형에서도 정리의 적용 구간과 도형의 길이 관계를 설명할 수 있어야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 사용할 조건을 적어 두는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준으로 쉬움은 1번입니다. 2~6번은 보통이지만 접점 조건, 미분가능성, 정리의 적용 구간, 합성된 입력의 접근 방향 등 확인할 개념이 서로 다릅니다. 초반이라고 일괄적으로 대입 계산만 하면 조건을 놓칠 수 있습니다.

7번의 항등식 분석부터 어려움이 시작되고, 8번과 12번은 보통으로 분류되어 있습니다. 따라서 번호 순서대로 난도가 올라간다고 생각하기보다, 풀이 방향이 보이는 문항을 먼저 마무리하는 전략이 적절합니다.

13~20번은 모두 어려움입니다. 교점 개수를 나타내는 함수, 부호 조건에 따른 인수의 중복, 구간 경계의 미분가능성처럼 해석할 대상이 바뀝니다. 21번은 보통이므로 이 연속 구간에서 막혔을 때 뒤쪽까지 살펴볼 필요가 있습니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수를 중심으로 연결

미분계수와도함수는 구간별 함수의 미분가능성부터 미분 항등식, 극한식의 미분계수 해석까지 폭이 넓습니다. 특히 17·19·20번은 좌우에서의 변화율을 구별해야 하므로, 도함수 공식을 적용하는 연습과 미분계수의 정의를 읽는 연습을 함께 해야 합니다.

도함수의활용(2)는 해당 문항이 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 10번의 넓이, 14·15번의 부호와 극값, 16·18번의 변형된 함수 그래프가 중심입니다. 도함수가 사라지는 지점을 구하는 데서 끝내지 않고 부호 변화와 경계점까지 확인해야 합니다.

함수의극한은 1번의 기본 계산과 24번의 도형 결합형 사이에 차이가 큽니다. 함수의연속 역시 8번의 연속 조건에서 13번의 교점 개수, 22번의 사잇값 정리로 확장됩니다. 단원별 문항 수와 별개로 개념이 다른 단원에서 다시 쓰이는 점에 주목하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데, 정의를 정확히 읽는 일이 특히 중요한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경계의 값과 경계 주변의 상태를 따로 살펴야 합니다. 계산량을 줄이려면 경우별 조건을 먼저 표로 정리하고, 조건을 모두 만족하는지 끝에서 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~6번의 기본 개념 문항에서 풀이를 정돈하고, 이후에는 식의 출발점이 보이는 문항을 우선 처리하세요. 7번에서 계수 비교가 길어지거나 9·10번에서 경우 정리가 멈추면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 실제 연습에서 걸린 시간을 기준으로 계획하세요.

13~20번 구간을 끝까지 붙잡고 있으면 뒤쪽의 21·22·24번을 검토할 시간이 줄어듭니다. 21번의 평균값 정리와 22번의 사잇값 정리에서는 적용 조건과 구간을 문장으로 정리하고, 24번에서는 그림의 수직 관계와 공통 밑변을 먼저 표시하세요. 재검토할 시간도 남겨 두는 것이 필요합니다.

놓치기 쉬운 조건은 4·21번의 열린 구간, 5·9번의 입력값 접근 방향, 14·15번의 도함수 또는 함수의 부호 변화입니다. 16~20번에서는 연속만 확인하고 미분가능성까지 결론 내리지 않도록 주의하세요. 마지막에는 구한 후보가 처음 설정한 범위와 경우에 속하는지 역으로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 변형부터 정리하세요. 유리화·인수분해·차수 비교를 연습하고, 두 함수의 차를 새 함수로 두는 풀이를 연결하세요(1·6·12번 대비).
2. 연속과 미분가능성 조건을 분리해 적으세요. 좌극한·우극한·함숫값을 확인한 다음 좌우 미분계수로 넘어가세요(3·8·9·17번 대비).
3. 롤의 정리와 평균값 정리는 가정과 결론을 함께 서술하세요. 계산으로 나온 후보가 열린 구간 안에 있는지 표시하세요(4·21번 대비).
4. 증감표를 중심으로 그래프를 복원하세요. 중근에서의 부호 변화, 절댓값에 의한 대칭, 수평선과의 교점 변화를 묶어 연습하세요(13·14·15·18번 대비).
5. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 연결하세요. 새 함수의 값과 극한을 구분하고 반복 관계를 한쪽 기울기에 적용하는 연습을 하세요(7·11·16·19·20번 대비).
6. 도형과 정리를 결합해 마무리하세요. 접선·거리·넓이 비를 식으로 바꾸는 유형과 사잇값 정리로 서로 다른 근을 보장하는 유형을 연습하세요(10·22·23·24번 대비).