선덕고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

선덕고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

선덕고등학교는 서울 도봉구에 있습니다. 이 시험은 함수의 극한·연속부터 미분계수와 도함수, 접선, 함수의 증감과 극값, 방정식의 실근 개수까지 다룹니다. 적분보다 앞선 개념들이 어떻게 연결되는지를 확인하는 범위입니다.

앞부분에서는 미분 공식과 그래프의 극한값, 연속 조건처럼 출발점이 분명한 문제를 해결합니다. 중반부터는 극점의 위치, 부호 조건, 매개변수에 따른 최솟값을 해석해야 합니다. 도함수를 구한 뒤 무엇을 조사할지 정하는 능력이 필요합니다.

서술·단답형은 17·18·19·21·23·24번입니다. 17·18번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 뒤에 있다는 이유로 미루지 마세요. 풀이 순서는 번호보다 접근 가능성과 조건 정리의 진척에 맞춰 조정하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 중반과 마지막 구간의 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·17·18번으로 앞뒤에 나뉘어 있습니다. 공식 적용, 그래프 읽기, 인수분해, 연속 조건을 정확하게 처리하면 확보할 수 있는 구간입니다. 난이도 비중은 반올림한 값이며 자동 분류 기준입니다.

보통 문항에서는 계산 자체보다 적용할 조건을 고르는 일이 중요합니다. 6번은 역함수 존재를 단조성과 연결하고, 8번은 도함수 그래프의 높이 차이로 극소를 판정합니다. 11번은 개수를 세는 함수와 그 함수로 나눈 구간을 따로 읽어야 합니다.

어려움 구간에서는 하나의 조건만 확인하고 끝내기 어렵습니다. 10번은 극점이 열린구간 안에 있는지, 13번은 도함수 방정식의 해가 해당 구간에 속하는지 확인해야 합니다. 마지막에는 근이나 교점의 개수 자체를 다시 함수로 다루는 문제가 등장합니다.

출제 단원 — 도함수의활용(2)를 중심으로 연결

도함수의활용(2)는 극값 조건의 기본형부터 매개변수가 있는 최솟값 함수까지 연결됩니다. 3·7번에서 극값과 최댓값의 차이를 정리하고, 10·12·15번에서 위치·부호·정수 조건을 추가하는 순서로 공부하세요. 같은 단원 안에서 조건이 어떻게 늘어나는지 비교하기 좋습니다.

함수의극한과 미분계수와도함수는 기본 계산뿐 아니라 구간별 정의와 조건 역추론을 포함합니다. 14번은 유리화 이후 분모가 사라지는 상황을 나누고, 22번은 함수값 관계와 접선 기울기를 함께 사용합니다. 단원 이름만 보고 단순 계산 유형으로 좁혀 준비하면 부족합니다.

도함수의활용(1)의 20번은 공통 접선, 도함수의활용(3)의 16·23번은 교점 개수와 관련됩니다. 증감표를 그리는 연습에 접선과 수평선을 직접 움직여 보는 연습을 더해야 범위 전체가 연결됩니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 개념과 확인할 조건을 정리했습니다. 난이도 표시는 자동 분류 기준입니다.

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 범위 시험

같은 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 선덕고는 총 24문항과 서술·단답형 6문항으로 이웃 학교 평균 21.3문항과 3.7문항보다 많습니다. 풀이만 생각하는 시간과 답안을 정리하는 시간을 함께 확보해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 선덕고가 46%, 이웃 학교 평균이 41%이며, 선덕고는 11개교 중 3위입니다. 이는 분류 비율의 비교이므로 실제 응시자의 체감 난도를 그대로 나타내지는 않습니다.

이웃 학교에는 함수의극한이 가장 많은 학교가 여럿 있지만 선덕고는 도함수의활용(2)가 중심입니다. 다른 학교의 극한 문제로 기본기를 보충하더라도, 선덕고 대비에서는 증감·극값을 조건으로 바꾸고 개수 함수를 구성하는 문제까지 이어서 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 원래 식의 성질을 조사한 뒤 그 결과로 새 함수를 만든다는 공통점이 있습니다. 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정한 최고 난도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~9번에서 계산과 조건 확인이 끝나는 문제를 풀고, 10번에서 근의 위치 조건이 막히면 표시해 두세요. 11번과 17~19번도 확인해 접근 가능한 문제를 먼저 마무리하면, 중반 고난도 구간에서 시간을 모두 쓰는 일을 줄일 수 있습니다.

12~16번과 20~24번으로 돌아올 때는 출발 조건을 적을 수 있는 문제부터 선택하세요. 20번은 접선 일치 조건, 21번은 근의 간격, 23번은 구간별 교점 표처럼 첫 정리의 형태를 미리 연습하면 좋습니다. 마지막에는 서술·단답형 답안의 조건과 계산을 검토할 시간을 남기세요.

검토할 때는 10번의 열린구간, 13번의 구간별 해와 중근, 15번의 최솟값을 주는 부분의 전환을 우선 확인하세요. 22번은 사차함수의 차수가 유지되는지, 23번은 경계 포함 여부, 24번은 함수값과 극한을 혼동하지 않았는지 살피세요. 단순 재계산보다 조건 누락을 찾는 검토가 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식과 기본 극한부터 점검하세요. 인수분해와 미분계수 정의를 설명하며 풀어 계산의 근거를 익히세요(1·2·17·19번 대비).
2. 연속과 미분가능성을 경계의 조건으로 정리하세요. 좌우극한·함숫값·좌우 미분계수를 구별해 적는 습관을 들이세요(5·13·18번 대비).
3. 증감표에서 극값과 닫힌구간의 최대·최소를 찾고, 근의 위치 조건을 추가하세요. 판별식과 구간 조건을 함께 확인하세요(3·6·7·8·10번 대비).
4. 인수의 중복도와 정수 조건을 연결하세요. 부호 변화로 함수의 형태를 정한 뒤 허용되는 후보만 남기는 연습을 하세요(12·21·22번 대비).
5. 접선과 매개변수 함수를 그래프로 해석하세요. 공통 접선의 조건, 최솟값을 주는 부분의 전환, 극한식의 경우 구분을 연습하세요(4·14·15·20번 대비).
6. 실근·교점 개수를 구간별 표로 만든 뒤 그 개수 함수의 극한을 조사하세요. 경계에서는 별도 행을 두고 실제 함숫값을 기록하세요(11·16·23·24번 대비).