북일고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

북일고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

북일고등학교는 충남 천안시에 있습니다. 이 시험은 함수의 극한과 연속에서 미분계수·도함수, 접선과 극값을 다루는 도함수의 활용까지 출제됐습니다. 극한의 계산 원리를 미분가능성 판단과 연결해 공부해야 하는 범위입니다.

시험의 특징은 익숙한 개념을 다른 표현으로 제시한다는 점입니다. 10번은 함수의 항등식을 미분계수의 정의에 연결하고, 19번은 원과 직선의 교점 개수를 함수로 해석합니다. 공식을 기억해도 주어진 상황을 함수 조건으로 바꾸지 못하면 풀이를 시작하기 어렵습니다.

서술·단답형은 17번의 구간별 함수 미분가능성, 19번의 불연속점 조절, 20번의 곱과 합성 형태의 연속성입니다. 특히 19·20번은 자동 분류 기준 어려움이므로, 계산 결과를 쓰기 전에 조건을 확인할 순서를 잡아 두는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 어려움 문항

자동 분류 기준에서 쉬움에 해당하는 문항은 없습니다. 보통 문항도 유리화, 판별식, 함수의 항등식 등 서로 다른 도구를 요구합니다. 1~4번을 풀면서 무리식의 정의역, 접점의 위치, 증가 조건의 경계까지 정확하게 읽는 습관이 필요합니다.

5번은 접선의 개수를 서로 다른 접점 후보의 개수로 바꾸고 중복을 구분합니다. 7번은 합성함수의 불연속 후보를 조사합니다. 이 두 문항에서 흐름이 끊겼다면 6·8·9·10번으로 이동해 풀 수 있는 문제를 먼저 확보하세요.

11~16번은 모두 자동 분류 기준 어려움이고, 뒤에서는 17번을 사이에 두고 어려움 문항이 이어집니다. 번호 순서와 체감 난도가 항상 같지는 않으므로, 17번처럼 조건의 적용 순서가 명확한 문항을 놓치지 않는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 미분계수와 연속 조건의 연결

가장 많은 단원인 미분계수와도함수에서는 평균변화율과 정의를 이용한 계산부터 정수 부분이 포함된 함수의 판단까지 나옵니다. 3·10번에서 정의를 정확히 익힌 뒤 13·16번으로 넘어가야, 식이 낯설어져도 기준을 잃지 않습니다.

함수의연속은 비중뿐 아니라 문항의 성격도 중요합니다. 8번의 인수 조건은 12번의 구간별 분수식으로 확장되고, 7·19·20번은 불연속이 생기거나 없어지는 지점을 따집니다. 연속을 단순 대입으로만 처리하지 말고 함수값·좌극한·우극한을 따로 정리하세요.

도함수의 활용은 접선과 극값의 의미를 대수식에 연결합니다. 14·21번은 접한다는 사실을 중근으로 표현하며, 11·15번은 극값과 그래프의 구조를 이용합니다. 단원별 계산 연습 뒤에는 접선·실근·그래프를 함께 다루는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 조건 전환의 부담을 고려해 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 한 가지 공식으로 끝나지 않는다는 것입니다. 함수의 정의, 구간의 범위, 접한다는 의미를 각각 적고 다음 단계로 넘어가는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때에는 1~4번과 6·8·9·10번에서 안정적으로 풀 수 있는 문항을 확보하세요. 5·7번에서 후보를 나누는 기준이 바로 보이지 않으면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 끝까지 계산한 식이 없어도 후보 지점이나 접점 방정식을 남겨 두면 재도전할 때 시간을 줄일 수 있습니다.

11~16번을 연속해서 풀다가 서술·단답형을 늦게 확인하지 않도록 하세요. 17번은 연속 조건과 미분가능 조건을 순서대로 쓰는 문항이므로 먼저 확인할 가치가 있습니다. 19·20번은 조건을 정리할 여유가 필요하니, 마지막 계산 시간과 별개로 좌우극한을 적는 시간을 남겨 두세요.

검산할 때는 5·18번의 서로 다른 근과 중근, 12번의 구간 경계, 13번의 나눗셈 가능 여부, 20번의 합성 입력 방향을 우선 보세요. 21번에서는 기울기 일치와 절편 일치를 모두 썼는지 확인하세요. 계산을 반복하는 것보다 처음 세운 조건의 누락을 찾는 검산이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 전제 정리 — 분모가 사라지는 지점, 좌우극한의 존재, 유리화와 인수분해를 순서대로 점검하세요(1·6·9번 대비).
2. 미분계수의 정의 — 평균변화율과 함수의 항등식을 차분몫으로 바꾸고 기준 함수값을 먼저 찾으세요(3·10번 대비).
3. 연속과 미분가능 조건 — 함수값·좌극한·우극한을 나란히 적고, 연결점의 좌우 미분계수를 비교하세요(8·12·17번 대비).
4. 불연속점 추적 — 속함수의 경계와 겉함수의 경계를 구분하고, 곱하는 인수가 불연속을 없애는 경우를 연습하세요(7·19·20번 대비).
5. 접선과 근의 개수 — 접점 변수를 정해 기울기·절편 조건을 세우고 중근·공통근을 구분하세요(2·5·14·18·21번 대비).
6. 그래프와 예외 확인 — 대칭성·극값·절댓값 그래프를 그린 뒤, 인수로 나누기 전 예외와 정수 부분이 일정한 구간을 확인하세요(4·11·13·15·16번 대비).