목동고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

목동고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

목동고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용(1)입니다. 유리식과 무리식의 극한부터 접선, 구간별 함수의 미분가능성까지 연결되는 범위입니다.

초반에는 인수분해와 극한의 성질, 항등식의 미분처럼 출발 방법을 비교적 분명히 정할 수 있습니다. 중반 이후에는 같은 계산 도구를 쓰더라도 적용할 구간과 조건을 스스로 정해야 합니다. 특히 절댓값과 구간별 정의가 나오면 식을 하나로 밀어붙이기보다 경계와 부호가 바뀌는 지점을 먼저 표시하는 편이 좋습니다.

연속성을 묻는 문제도 좌우극한을 맞추는 기본형에 머물지 않습니다. 주기와 사잇값의 정리를 연결하거나, 이동한 함수와의 곱이 연속이 되는 상황을 해석합니다. 미분 단원 역시 공식 대입과 함께 변화량이 다른 차분몫을 미분계수의 정의로 바꾸는 능력이 필요합니다.

난이도 분포 — 7~18번에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1번이며, 보통은 2~6번과 19번입니다. 초반에는 근호의 부호, 극한의 나눗셈 조건, 곱의 미분법을 정확히 적용해야 합니다. 6번처럼 도형의 넓이를 이용해 극한식에 들어갈 관계를 먼저 만드는 문항도 있으므로 보통 구간을 모두 단순 대입 문제로 보기는 어렵습니다.

7~18번은 자동 분류 기준 어려움으로 이어집니다. 7번의 다항식 차수 추론, 9번의 거리함수 구성, 12~15번의 불연속과 부호 해석처럼 계산 전에 판단할 내용이 많습니다. 한 문항에서 막히면 다음 문제도 같은 부담일 것이라고 추측하기보다, 각 문항에서 첫 관계식을 세울 수 있는지 확인하세요.

서술·단답형 중 18번은 어려움, 19번은 보통입니다. 뒤쪽이라는 이유만으로 19번을 미루면 접근 가능한 극한 조건 문제를 놓칠 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감이나 문항별 난도 순위를 확정하는 자료로 해석해서는 안 됩니다.

출제 단원 — 극한을 바탕으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 기본적인 약분과 무한대에서의 극한뿐 아니라 다항식 결정과 매개변수 조건까지 포함합니다. 7번은 원점 근처의 최저차항과 무한대에서의 최고차항을 구분하고, 10번은 모든 지점에서 극한이 존재한다는 조건을 실근의 구조로 옮깁니다. 계산법별 연습에 조건을 대수 관계로 바꾸는 연습을 덧붙이세요.

미분계수와도함수에서는 4번의 항등식 미분에서 출발해 11·18번의 구간별 미분가능성과 16·17번의 차분몫 해석으로 확장됩니다. 함수의연속 문항은 모두 자동 분류 기준 어려움이며, 주기·이동·절댓값·그래프가 결합됩니다. 연속 조건과 미분 조건을 따로 정리한 뒤 필요한 순서대로 적용해야 합니다.

도함수의활용(1)은 5번의 공통 접선 문제입니다. 두 곡선이 같은 점을 지난다는 조건과 그 점에서 접선의 기울기가 같다는 조건을 함께 써야 합니다. 문항 수가 적더라도 미분계수의 기하적 의미를 설명할 수 있도록 준비하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 한 지점에서 얻은 식을 전체 구간의 성질로 확대할 때 주의가 필요합니다. 후보를 계산한 뒤 원래 구간, 부호, 연속성과 미분가능성 조건에 차례로 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 관계를 확인하고, 조건 정리가 길어지는 문제에는 표시를 남기세요. 7~18번의 자동 분류 기준 어려움 구간을 순서대로 모두 해결하려 하면 마지막 문항을 읽을 시간이 부족할 수 있습니다. 19번의 구간별 극한 조건도 미리 확인해 접근 가능한 문제부터 풀이를 완성하세요.

계산용 식과 조건 확인용 기록을 함께 남기는 연습이 좋습니다. 12번은 불연속 후보점의 위치, 14번은 부호 변화의 방향, 17번은 자연수와 정수 조건을 따로 적어 두세요. 18번에서는 연속성 확인, 좌우 미분계수 비교, 나머지 구간 검토를 구별해 쓰면 같은 조건을 반복 계산하는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 근호 안의 제곱을 절댓값으로 처리했는지, 사잇값의 정리를 적용한 구간이 열린구간인지 확인하세요. 연속이라고 곧바로 미분가능하다고 판단하지 말고, 곱이 연속이라고 각 인수가 연속이라고 판단해서도 안 됩니다. 구간별 함수에서는 방정식의 근과 마지막 대입값이 실제로 해당 구간에 속하는지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식의 약분과 무리식의 부호 처리를 먼저 익히세요. 음의 무한대로 갈 때 근호 밖으로 나오는 항의 부호를 말로 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 기하 조건과 항등식을 식으로 옮기는 연습을 하세요. 점을 지난다는 조건, 접선의 기울기, 넓이를 이용한 관계식을 구분해 정리하세요(4·5·6번 대비).
3. 극한의 존재 조건으로 다항식의 차수와 근을 제한하세요. 필요한 조건을 얻은 뒤 모든 후보에서 실제 극한이 존재하는지도 확인하세요(7·10·13번 대비).
4. 연속함수의 주기와 사잇값의 정리를 연결하고, 이동한 함수의 불연속 후보점과 영점을 수직선에 표시하세요(8·12번 대비).
5. 거리와 절댓값, 그래프의 교점 개수를 구간별 함수로 바꾸세요. 경계점에서는 함숫값과 좌우극한을 따로 확인하세요(9·14·15·19번 대비).
6. 차분몫의 실제 변화량을 찾아 미분계수로 바꾸고, 절댓값 함수의 좌우 미분계수를 비교하세요. 자연수 조건과 추가 꺾임점까지 검토하며 마무리하세요(11·16·17·18번 대비).