광문고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

광문고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

광문고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 대소 관계와 미정계수 결정에서 출발해 연속 조건, 미분가능성, 접선의 기울기로 이어집니다.

같은 극한 문제라도 출발 방식이 다릅니다. 유리식은 인수와 약분 조건을, 무리식은 유리화를, 그래프 문제는 좌우에서 접근하는 방향을 먼저 확인해야 합니다. 여기에 도형의 길이를 극한식으로 옮기거나 다항식의 차수를 제한하는 문항이 더해져, 공식을 아는 것과 적용할 구조를 찾는 능력을 함께 요구합니다.

연속 단원에서는 개별 함수의 연속 여부를 넘어 곱함수 전체가 연속이 되는 조건을 자주 다룹니다. 미분에서는 정의에 맞춘 극한식 변형과 접합점의 좌우 미분계수 비교가 중요합니다. 풀이를 시작하기 전에 어느 점에서 무엇을 맞춰야 하는지 한 줄로 적어 보는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중간부터 반복되는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움인 1번은 극한의 대소 관계를 적용하는 기본형이며, 보통인 2~6번은 미정계수, 합성된 입력의 접근 방향, 사잇값의 정리와 연속 조건을 확인합니다. 초반부터 대입만 반복하기보다 조건에 맞는 개념을 고르는 것이 중요합니다.

7·8·9번의 어려움 문항을 지나면 10·11·12번의 보통 문항이 나옵니다. 앞에서 막혀도 다음 문제의 구조를 살펴볼 필요가 있습니다. 특히 13·14번 뒤의 15번, 16·17·18번 뒤의 19·20번처럼 난도 구간이 바뀌므로, 어려운 문제에 머무르다 접근 가능한 문항을 놓치지 않도록 하세요.

서술·단답형에서는 15·19·20번이 보통, 21번이 어려움입니다. 앞의 서술·단답형은 연속이나 극한 조건에서 식의 형태를 정하는 근거가 핵심이고, 마지막 문항은 다항식의 차수부터 판단해야 합니다. 같은 답안 형식이라도 준비해야 할 사고 과정은 구분해서 연습하세요.

출제 단원 — 극한과 연속의 조건을 식으로 바꾸기

가장 많은 함수의극한은 계산형과 해석형을 함께 포함합니다. 2·4·19번에서는 극한이 존재한다는 조건으로 인수를 확보하는 접근이 유효합니다. 반면 9번은 교점 개수를 함수로 읽고, 14번은 외접원의 기하 관계를 좌표식으로 바꾸며, 16번은 서로 다른 극한에서 다항식의 항을 제한해야 합니다.

함수의연속은 경계에서의 좌극한·우극한·함숫값을 맞추는 원리가 여러 형태로 반복됩니다. 7·8·20번을 함께 보면 불연속인 함수가 포함되어도 곱 전체는 연속일 수 있다는 점을 익힐 수 있습니다. 18번은 특정 점에서의 연속뿐 아니라 실수 전체에서 식이 성립할 조건까지 확인해야 합니다.

미분계수와도함수에서는 10·12번의 정의 해석, 11·13번의 접합점 검토, 21번의 항등식 활용이 연결됩니다. 도함수의활용인 17번은 접선의 기울기를 부등식으로 바꾼 뒤 자연수 조건을 처리합니다. 미분 공식만 반복하기보다 미분한 식이 원래 조건에서 어떤 역할을 하는지 설명해 보세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 같은 수학II 시험

2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 강동구의 이웃 학교와 견주면, 광문고는 총 21문항으로 이웃 학교 평균 22.0문항보다 적고 서술·단답형은 4문항으로 평균 2.5문항보다 많습니다. 따라서 총 문항 수만 보고 답안 작성의 부담까지 작다고 판단하기는 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 광문고가 43%로 이웃 학교 평균 57%보다 낮으며, 3개교 중 3위입니다. 다만 이는 문항 분류 비율의 순서입니다. 광문고에서도 곱함수의 연속, 차수 제한, 자연수 조건처럼 여러 판단을 연결하는 문제에 대비해야 합니다.

한영고등학교와 배재고등학교는 미분계수와도함수가 가장 많은 단원이고, 광문고는 함수의극한이 가장 많습니다. 광문고를 준비한다면 미분 기본형을 익힌 뒤 극한에서 인수와 차수를 찾는 유형, 연속 조건으로 곱함수의 구조를 정하는 유형을 충분히 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 첫 조건에서 얻은 결과를 다음 조건의 출발점으로 써야 합니다. 중간 결과 옆에 적용 범위와 남은 조건을 적으면, 계산을 마친 뒤 무엇을 더 확인해야 하는지 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 구조가 익숙한 문항을 먼저 확보하세요. 7·8·9번에서 경우 정리가 길어지면 표시하고 10·11·12번을 살펴보세요. 15·19·20번도 자동 분류 기준 보통이므로, 서술·단답형을 마지막까지 보지 않는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

풀이 시간이 늘어나는 원인을 조건 해석과 계산으로 나누어 기록하세요. 14번은 외심의 좌표 관계를 세우는 데, 16번은 차수 후보를 좁히는 데 시간이 들 수 있습니다. 연습할 때 시작에 필요한 관계만 먼저 적어 보고, 그다음 실제 계산을 이어 가면 막히는 단계를 확인할 수 있습니다.

마지막 검토에서는 접근 방향과 경계를 우선 확인하세요. 3번의 치환 후 방향, 9번의 경계 높이에서의 교점 개수, 17번의 자연수와 엄격한 부등호가 점검 대상입니다. 11번은 연속과 미분가능성 조건을 모두 썼는지, 18번은 전체 실수에서의 연속을 확인했는지도 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한이 존재하기 위한 분자 조건과 인수분해·유리화를 복습하세요. 약분 전후의 정의와 극한을 구별해 설명하세요(2·4·15·19번 대비).
2. 치환한 입력의 접근 방향과 그래프의 한쪽 극한을 연습하세요. 점근선의 높이와 실제 함숫값을 구분해 표시하세요(3·9번 대비).
3. 연속 조건은 좌극한·우극한·함숫값을 나란히 적어 정리하세요. 곱함수에서 불연속을 없애는 구조와 경계 위치의 경우 구분을 익히세요(6·7·8·20번 대비).
4. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 연결하세요. 구간별 함수는 연속 조건을 먼저 쓰고 좌우 미분계수를 비교하세요(10·11·12·13번 대비).
5. 다항식의 차수를 먼저 판단하는 연습을 하세요. 최고차항과 최저차항을 구별하고, 중근과 분모의 실근 조건까지 함께 검토하세요(16·18·21번 대비).
6. 도형과 접선의 조건을 식으로 옮겨 보세요. 외심의 거리 관계, 도함수의 부호, 자연수 범위를 적은 뒤 계산을 시작하세요(14·17번 대비).