청원고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

청원고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

청원고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 롤의 정리, 함수의 증가·감소와 극대·극소 등입니다. 극한의 계산에서 시작해 함수의 성질을 조건으로 해석하는 단계까지 이어집니다.

극한 문항이라고 해서 대입과 인수분해만 반복하는 구성은 아닙니다. 다항식의 차수와 계수를 추론하거나, 절댓값의 부호를 정하거나, 도형에서 필요한 함수를 직접 만들어야 합니다. 조건을 읽고 어떤 표현으로 바꾸어야 할지 결정하는 시간이 풀이의 큰 부분을 차지할 수 있습니다.

객관식은 1~12번과 16·17번, 서술·단답형은 13·14·15·18·19·20번입니다. 형식과 난도가 번호에 따라 한 방향으로 바뀌지 않습니다. 전체 문항을 먼저 훑고 계산형, 조건 결합형, 근거를 쓰는 문항을 구별해 접근 순서를 정하는 연습이 유효합니다.

난이도 분포 — 중반의 연속된 어려움 문항

자동 분류 기준 보통인 1~5번에서는 미분계수의 정의, 무한대에서의 극한, 그래프의 좌우극한, 평균변화율, 롤의 정리를 확인합니다. 출발 개념은 비교적 명확하지만 변화량의 비율이나 구간 조건을 놓치면 익숙한 계산에서도 오류가 생깁니다.

6~12번은 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 절댓값과 세제곱근, 항등식과 접선, 내접원 등 표현이 바뀌므로 한 가지 계산법만 반복해서 적용하기 어렵습니다. 13번은 보통으로 분류되므로 앞 구간에서 시간이 길어졌다면 먼저 확인할 만합니다.

14~18번에서는 극한 조건의 결합과 곱함수의 연속성, 매개변수에 따른 경우 분류가 이어집니다. 반면 19번은 쉬움, 20번은 보통입니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 차이가 있을 수 있으나, 마지막 문항을 무조건 가장 어렵다고 판단할 근거는 없습니다.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 연속과 미분 연결

함수의극한은 9문항으로 가장 많습니다. 2·6·14·18번에서는 극한 조건으로 다항식의 형태를 정하고, 3·7번에서는 접근 방향을 구별합니다. 8번은 세제곱근의 차, 12·15번은 도형을 식으로 바꾸는 과정이 중요하므로 단순한 유리식 극한만으로 대비 범위를 좁히지 마세요.

미분 영역에서는 정의와 활용을 모두 다룹니다. 1·4번의 변화율을 바탕으로 9번은 항등식에서 도함수를 구성하고, 10·11·13·20번은 극값과 증가 조건을 해석합니다. 도함수를 구한 뒤 원래 함수의 성질로 되돌려 설명하는 연습이 필요합니다.

함수의연속에서는 19번의 정의에 따른 증명과 16·17번의 곱함수 조건이 대비됩니다. 개별 함수가 불연속이어도 다른 인수가 그 지점에서 사라지면 곱은 연속일 수 있습니다. 연속성의 정의를 알고 있는지와 그 정의를 새로운 함수 구조에 적용할 수 있는지를 함께 점검하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 노원구의 서술·단답 구성

같은 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 노원구 이웃 학교의 평균 문항 수는 20.0문항, 서술·단답은 3.0문항입니다. 청원고는 총 문항 수가 이 평균과 같고 서술·단답은 6문항으로 더 많습니다. 풀이의 결론뿐 아니라 출발 조건과 판단 근거를 문장으로 정리하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 청원고의 어려움 비율은 60%로 이웃 학교 평균 57%보다 높으며, 비교 대상 3개교 중 2위입니다. 어려움 비율만으로 시험의 체감 부담을 모두 설명할 수는 없으며, 청원고에서는 중간에 섞인 서술·단답형을 제때 확인하는 운영도 중요합니다.

세 학교 모두 가장 많은 단원은 함수의극한입니다. 대표 단원은 같지만 청원고는 도형에서 극한식을 구성하는 12·15번과 차수 조건을 나누는 18번까지 준비할 필요가 있습니다. 극한 공식을 외운 뒤에는 조건을 식으로 옮기는 과정과 서술의 완결성을 따로 점검하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 새로운 함수를 구성하거나 조건의 역할을 구별해야 한다는 것입니다. 복습할 때는 첫 식을 세운 이유를 설명하고, 계산은 맞았지만 출발 조건을 빠뜨린 부분이 없는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 개념형을 처리한 뒤 전체를 훑어 13·19·20번도 확인하세요. 6~12번을 모두 해결할 때까지 뒤로 넘어가지 않으면 서술 가능한 문항을 읽을 시간이 부족해질 수 있습니다. 풀이의 첫 관계식이 떠오르지 않는 문항은 표시하고, 접근 가능한 문항을 확보한 뒤 돌아오세요.

조건 검토는 계산 시작 전에 짧게 적어 두는 편이 좋습니다. 3·7번은 합성된 입력과 절댓값 내부의 접근 방향, 5번은 열린구간과 양수 조건, 10번은 매개변수 후보를 고르는 추가 부등식이 중요합니다. 15번에서는 매개변수의 부호가 근호를 정리하는 방법과 한쪽 극한의 방향을 정합니다.

서술·단답형에는 결론으로 이어지는 연결을 남기세요. 19번은 함숫값의 정의, 극한의 존재, 둘의 일치를 구분하고 20번은 전체 구간 증가 조건을 도함수의 부호와 판별식으로 연결해야 합니다. 마지막 검토에서는 16번의 경우 중복과 자연수 범위, 18번의 예외 분류를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 변화율의 정의부터 점검하세요. 분자의 실제 변화량에 맞춰 분모를 조정하고, 여러 구간의 함수값 차를 합치는 연습을 하세요(1·4·9번 대비).
2. 좌우극한과 연속의 정의를 정리하세요. 입력의 접근 방향을 표시하고 함숫값과 극한값을 구별해 짧은 증명을 써 보세요(3·7·19번 대비).
3. 극한 조건으로 다항식의 형태를 정하세요. 무한대의 최고차항과 특정 점에서 필요한 인수, 원점 근처의 최저차항을 나누어 확인하세요(2·6·14·18번 대비).
4. 무리식의 차를 변형하는 방법을 넓히세요. 제곱근은 유리화하고 세제곱근은 세제곱의 차 공식을 활용해 차수에 맞게 정리하세요(8·14·15번 대비).
5. 미분 활용은 조건 확인과 함께 연습하세요. 롤의 정리의 가정, 극값의 위치, 접선의 통과 조건, 전체 구간에서의 도함수 부호를 구별하세요(5·10·11·13·20번 대비).
6. 도형과 곱함수의 조건 결합을 마무리하세요. 도형에서는 길이·넓이 관계로 목표 함수를 만들고, 곱함수에서는 불연속 후보점과 영점의 대응을 확인하세요(12·15·16·17번 대비).